Враховуючи виродженість задачі (відсутнє відрахування прибутку), розв’язуємо її, починаючи від 1-го року і до кінця 3-го

Функціональна схема задачі:

Етап 1.

Оскільки немає необхідності розраховувати прибуток окремо, то матимемо формулу для розрахунку максимальних ресурсів, що вкладатимуться в купівлю нового обладнання.

к₂ = ((a– b+g-q) х₁ + (b– q) к₁) =

= ((0,4– 0,42+0,7–0,6)х₁ + (0,42+ 0,6)к₁) =

= (0,08х₁ + 1,02 к₁) = 1,1 к₁

Як видно з останнього запису, - для отримання максимального прибутку від експлуатації обладнання в першому році, необхідно вкладати ресурси в обладнання І-го типу.

Етап 2.

Розраховуємо кошти, які вкладаються для купівлі нового обладнання на 3-ій рік:

к₃ = ((0,4-0,42+0,7–0,6)х₂ + (0,42 + 0,6)к₂) =

= (0,08х₂ + 1,02 к₂) = 1,1 к₂ = 1,1 к₁ = 1,21 к₁

Залишки після трьох років діяльності підприємства складатимуть:

f₃ = к₄ = 1,1 к₃ = 1,331 к₁

Висновок: вкладаючи кошти для купівлі обладнання І-го типу, підприємство буде з прибутком.

3. Задача розподілу ресурсів за умови вкладання отриманих прибутків в розвиток автотранспортних підприємстві і відрахування прибутків на певних етапах їх діяльності.

Задамо вхідні параметри: a = 0,8; b = 0,75; g = 0,4; q = 0,5, Т= 3.

Сума прибутку, що отримується після 1-го і 3-го років, вкладається в розвиток підприємств, а після 2-го – відраховується до головного підприємства (залишок після останнього року до прибутку не додається). Шукаємо умовне оптимальне управління, починаючи з 3-го року.

Знайдемо умовне оптимальне управління, тобто підрахуємо залишки після кожного року діяльності підприємств, починаючи з третього року.

Етап 1.

f₃ = aх₃ + b(к₃ – х₃) + gх₃ + q (к₃-х₃) = (a– b+g – q)х₃ + (b+q)к₃;

f_3max= ((0,8-0,75+0,4– 0,5)х₃+(0,75+0,5)к₃)= (– 0,05х₃+1,25к₃) = 1,25к₃

При таких вхідних параметрах другому підприємству потрібно віддати всі ресурси, а перше залишити без дотацій: х₃ = 0, у₃ = к₃ і z₃ = 0.

Етап 2.

f₂ º к₃ = (g– q)х₂ + q к₂ = (0,4 – 0,5)х₂ + 0,5к₂ = – 0,1х₂ + 0,5к₂

z₂ = (a– b)x₂ + bк₂ = 0,05х₂ + 0,5к₂

z_2max = (0,05x₂ + 0,75к₂) = 0,8к₂

Щоб отримати максимальний прибуток, необхідно в перше підприємство вкласти всі ресурси, а в друге – нічого: х₂ = к₂, у₂ = 0.

Етап 3.

f₁ º к₂ = (– 0,05х₁ + 1,25к₁) = 1,25к₁

z₁ = 0; x₁ = 0; y₁ = к₁, тобто всі ресурси вкладатимуться в 2-е підприємство на першому році їх діяльності.

Висновок: при такому розподілі ресурсів підприємства матимуть прибуток після першого року діяльності, рівний 1,25 від початкового вкладу (К= к₁), який повністю вкладається в 1-е підприємство, і отриманий в кінці 2-го року прибуток, рівний

z_2max = 0,8к₂ = = к₁ = К,

тобто рівний величині ресурсів, вкладених в обидва підприємства на початку планового періоду, відраховується до головного підприємства. Залишки після 2-го року діяльності підприємств, рівні

f₂ = к₃ = – 0,1х₂ + 0,5к₂ = – 0,1к₂ + 0,5к₂ =0,4к₂ = 0,4 = 0,5к₁ = 0,5К,

вкладаються в перше підприємство. Після 3-го року прибуток вкладається у виробництво 2-го підприємства і разом із залишками складатимуть суму, рівну

f₃ = 1,25к₃ = 1,25 = 0,625К.

Самостійні завдання

Самостійні завдання, що пропонуються, з дисципліни "Основи теорії систем та системного аналізу" мають на меті краще засвоєння матеріалу відповідного курсу лекцій. Завдання складаються з трьох розділів, які виконуються поступово при вивченні студентами відповідного розділу.

Самостійні завдання стосуються питань загальної теорії систем і математичних моделей, що їм відповідають.

1. Завдання на побудову математичних регресійних моделей систем. Завдання складається з двох задач і передбачає отримання лінійних математичних моделей систем за результатами експериментальних досліджень. Кількість отриманих пар значень змінних входу та змінної виходу дорівнює 7 і залишається незмінною для всіх варіантів.

Задача 1. Були проведені експериментальні дослідження впливу розмірів інвестицій в розвиток виробництва підприємства (x₁ в тис. гривень) та основних фондів підприємства (x₂ в тис. грн.) на отриманий річний прибуток (y в тис. грн.). Аналіз було здійснено за показниками сімох підприємств приблизно однакового роду діяльності.

Дані експериментальних досліджень приведені в таблицях варіантів.