Конус. Возможные сечения

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса (i,l), то онапересекает его по двум образующим (рис.7.5а, плоскость Р).

Если же конус пересекает плоскость, не проходящая через его вершину, то в сечении получится одна из следующих кривых:

· окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к его оси (рис.7.5а, плоскость Q);

· эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие одной плоскости конуса и не перпендикулярна к его оси (рис.7.5а, плоскость R);

· парабола, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (рис.7.5б, плоскости Т₁ и Т₂). В этом случае угол между секущей плоскостью и осью конуса равен углу между осью конуса и образующей;

Рис. 7.5. Сечения конической поверхности вращения

· гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (рис.7.5б, плоскость S). При этом угол между секущей плоскостью и осью конуса меньше угла между осью конуса и образующей.

Следует обратить внимание на углы a, b₁, b₂ (рис.7.5б).

Угол a -между следами T_1V и T_2V плоскостей, пересекающих конус по параболам. Если проводить следы плоскостей через точку О внутри угла a, то эти плоскости пересекут конус по гиперболам, а если внутри углов b₁ и b₂, то по эллипсам.

Задача: Построить линию пересечения конуса, поверхность Ф, с фронтально проецирующей плоскостью Р (рис.7.6).

Решение:

Линия пересечения b – эллипс (см. рис.7.5, плоскость R).

[1 2] – большая ось эллипса.

[3 4] – малая ось эллипса.

[1 2] – натуральная величинабольшой оси эллипса.

Точки 3_V и 4_V делят большую ось эллипса пополам.

Если через эти точки провести окружность – параллель h, то натуральная величина малой оси определится как хорда [3_Н4_Н] горизонтальной проекции окружности – параллели h_Н.

Ряд произвольных точек строят при помощи окружностей – параллелей.

Задача: Построить линию пересечения конуса, поверхность Ф, фронтально проецирующей плоскостью Q (рис.7.7).

Решение:

Линия пересечения b – парабола (см. рис.7.5, плоскости Т₁ и Т₂)

1 – вершина параболы,

S_H – фокуспараболы (вершина конуса),

2 и 3 – точки, ограничивающие параболу.

Ряд произвольных точек строят при помощи окружностей – параллелей h_v так, как это показано для точек 4 и 5.

Рис. 7.6. Сечение конической Рис. 7.7. Сечение конической