Пример решения задачи с использованием симплекс-метода

Даны данные: из которых составляется система уравнений вида:

Целевая функция этой системы уравнений стремится в максимум, и имеет вид:

Базисное решение является допустимым, так как в правой части неравенств не содержатся отрицательные значения.

В данной системе 3 – уравнения с 3 – неизвестными, принимают за основные X₄, X_5, X₆ – переменных.

После этого выражают основные переменные (добавочные) через неосновные, и находят базисное решение соответствующее.

Вводим добавочные неотрицательные переменные (которые еще называют «неосновные»), и сводим систему неравенств к эквивалентной системе уравнений.

Так как в полученной системе уравнений нет отрицательных свободных членов, то базисное решение является допустимым (0; 0; 0; 60; 100; 36).

Выразим целевую функцию через неосновные переменные: для этого находят абсолютные величины отношений свободных членов уравнений, к коэффициентам при переменной, переводимой в основные, причем только из тех уравнений, в которых эти коэффициенты положительны.

Х₂: {60/1; 100/1; 36/1} переводим Х₂ в основные переменные: из третьего уравнения, так как 36/1=36 наименьший коэффициент.

Подставим в целевую функцию =>Х₂:

Рассмотрим полученную систему уравнений и целевую функцию:

Если отыскивается максимум линейной формы, и в ступени выражений нет основных переменных с положительным знаком, то критерий оптимальности выполнен и полученное базисное решение служит оптимальным (задача решена), но в примере еще есть две переменные с положительным знаком.

Переходим к новому базисному решению {0; 5; 0; 0; 20; 50}. Из не основных переменных, входящих в линейную форму (уравнения) с положительным коэффициентом выбираем ту, которой соответствует наибольший коэффициент и переводит ступени в основные.

Рассмотрим переменную Х₁ {10; 10; 17}. Выразим из первого уравнения переменную Х₁:

Рассмотрим полученную систему уравнений и целевую функцию:

Если отыскивается максимум линейной формы, и в ступени выражений нет основных переменных с положительным знаком, то критерий оптимальности выполнен и полученное базисное решение служит оптимальным (задача решена), но в примере еще есть одна переменная с положительным знаком (Х₃).

Переходим к новому базисному решению {10; 0; 0; 0; 40; 20}. Из не основных переменных, входящих в линейную форму с положительным коэффициентом выбираем Х₃, которой соответствует наибольший коэффициент (5) и переводит ступени в основные.

Рассмотрим переменную Х₃ {0; 8; 20}. Выразим из второго уравнения переменную Х₃:

Рассмотрим полученную систему уравнений и целевую функцию:

Отыскивается максимум линейной формы, так как в ступени выражений нет основных переменных с положительным знаком – критерий оптимальности выполнен и полученное базисное решение служит оптимальным (задача решена).

То есть при Х₁=10; Х₂=0; X₃=8 максимальное значение функции равно 80 (Lmax=80).

Литература.

1. Б.Я. Советов – «АСУ. Внедрение в специальность» (1989г.)
2. Е.С. Вентцель – «Исследование операций» (1972г.)
3. Конспекты по «АСУ»
4. Конспекты по «Компьютерному моделированию»
5. Г. Жимерин, В.А. Мясников – «Автоматизированные и автоматические системы уравнения» (1975г.)
6. Б.Я. Советов – «АСУ. Внедрение в специальность» (1989г.)
7. Е.С. Венцель – «Исследование операций» (1972г.)