Представление целых чисел. Рассмотрим n-разрядный вектор

Рассмотрим n-разрядный вектор

В = b _n-1 … b ₁ b ₀

Здесь bi = 0 или 1 при 0 ≤ i ≤ n-1. Этот вектор может представлять беззнаковое це­лочисленное значение V в диапазоне от 0 до 2ⁿ-1, где

V(B) = b_n-1 x 2^n-1 +...+b₁ x 2¹ + b₀ x 2⁰

Совершенно очевидно, что нам необходимо как-то представлять и положи­тельные, и отрицательные числа. Существуют три системы представления чисел со знаком:

- значение со знаком;

- дополнение до единицы;

- дополнение до двух.

Во всех трех системах крайний слева бит, называемый самым старшим разря­дом (Most Significant Bit, MSB), равен 0 в случае положительных чисел и 1 — в случае отрицательных. На рис. 4.1 все три представления показаны на примере 4-разрядных (4-битовых) чисел. Положительные значения во всех трех системах представляются одинаково, а отрицательные — по-разному. В системе значения со знаком отрицательные числа отличаются от соответствующих положительных чисел тем, что значение самого старшего бита (bз на рисунке 4.1) в векторе В равня­ется не 0, а 1. Например, число +5 представляется как 0101, а число -5 как 1101. Такое представление чисел называют еще прямым кодом числа со знаком. В представлении дополнения до единицы отрицательные значения получают пу­тем дополнения каждого разряда соответствующего положительного значения до единицы. Таким образом, представление числа -3 формируется путем дополнения каждого бита вектора 0011, так что в результате получается 1100. Такое представление чисел еще называют обратным кодом числа. Очевидно, что эту же операцию необходимо выполнить для преобразования отрицательного числа в соответствующее положительное значение. И в одном и в другом случае преобразо­вание называется дополнением числа до единицы. Операция формирования до­полнения заданного числа до единицы эквивалентна вычитанию этого числа из 2ⁿ-1, то есть из 1111 в случае 4-разрядных чисел (см. рис. 4.1). В системе допол­нения до двух операция дополнения производится путем вычитания числа из 2ⁿ. То же самое значение можно получить и путем добавления 1 к дополнению этого числа до единицы. Такое представление числа еще называют дополнительным кодом числа.

Обратите внимание, что в системах значения со знаком и дополнения до едини­цы числа +0 и -0 представляются по-разному, а в системе дополнения до двух — одинаково. Имея всего четыре разряда, значение -8 можно представить в системе дополнения до двух, но нельзя представить ни в одной из двух других систем. Для нас наиболее естественной представляется система значения со знаком, по­скольку мы привыкли иметь дело с десятичными значениями со знаком. Систему дополнения до единицы относительно легко связать с системой значения со зна­ком, а вот система дополнения до двух кажется несколько неестественной. Но, как будет показано дальше, именно она оказалась наиболее эффективным способом представления чисел с точки зрения выполнения операций сложения и вычитания. Поэтому она чаще всего используется и в компьютерах.

Рис. 4.1. Двоичное представление целых чисел со знаком