Парадокс лысого

Заканчивая этот раздел, посвященный индукции и ее видам, хотелось бы отметить, что проблема индукции как особой мыслительной операции до сих пор таит в себе множество неясностей и неоднозначностей. Некоторые философы, как например английский философ Карл Поппер, вообще отрицали индукцию как прием и метод научного познания. По-видимому, дело здесь в большом значении дополнительных методов обоснования, необходимых для полноценного использования индукции. Как мы видели, сама по себе индукция в чистом виде – в форме популярной индукции - вряд ли носит научный характер и всегда так или иначе должна подкрепляться еще чем-то. Необходимость в такого рода дополнительных подкреплениях индуктивного вывода и малая ясность общей логики их использования, по-видимому, и порождает повышенную проблемность индукции как логического вывода сравнительно с выводом дедуктивным.

Для иллюстрации проблемности даже, казалось бы, такого наиболее обоснованного ее вида, как математическая индукция, проинтерпретируем в ее терминах так называемый «парадокс лысого», известный еще со времен античной науки и философии.

Допустим, есть некий лысый человек, который применяет настолько замечательное лекарство против облысения, что оно каждый день прибавляет к его лысине по одному волосу. Перестанет ли в этом случае человек быть когда-нибудь лысым? Кажется, что да. Если прибавлять каждый день по одному волосу, то рано или поздно лысина исчезнет и человек перестанет быть лысым. Но попробуем сформулировать это утверждение в форме математической индукции.

Пусть свойство Р – свойство «быть видимо лысым». Тогда Р(ч) есть утверждение «человек (ч) видимо лысый», т.е. лысый, если смотреть на его голову обычными глазами с некоторого расстояния. Пусть далее n – человек с числом волос на голове, равных числу n, которое добавилось к первоначальной лысине человека спустя n дней. Здесь мы можем доказать следующее:

1. Базис индукции: Р(1) – человек с одним волосом на голове видимо лыс. Это кажется очевидным.
2. Индуктивное предположение: пусть будет верно, что P (n), т.е., что человек с n числом волос на голове видимо лыс. Тогда ясно, что добавление одного волоса не сделает в этом случае человека видимо не лысым, т.е. верным будет и P (n +1). Следовательно, если P (n), то P (n +1) – мы доказываем индуктивное предположение.

Теперь, если мы принимаем аксиому математической индукции, мы обязаны сделать вывод: для любого n верно P (n), т.е. человек будет видимо лысым при любом числе волос у него на голове, что явно представляет из себя нелепицу!

Проблема здесь состоит в том, что состояние «быть видимо лысым» определяется особым состоянием количества – зрительно воспринимаемым числом волос, которое проявляет неоднозначные свойства, не вполне вписывающиеся в поведение обычных чисел.

В процессе прибавления волос и зрительного восприятия их массы есть некоторый момент, когда количество волос вот-вот готово появиться как некоторый зрительный образ, но еще таковым не является. Для простоты предположим, что таким свойством обладает некоторое конкретное число волос m. Тогда результат прибавления одного волоса к этому множеству начнет себя вести уже своеобразно. Число волос (m +1) будет готово впервые стать видимым, если его рассматривать с точки зрения одного волоса. В то же время это число волос зрительно не отличимо от числа волос m. Получается, что одно и то же число (m +1) может оцениваться как бы из двух точек отсчета – единицы и предшествующего числа m. Чтобы выразить различие этих состояний, обозначим через n? k число n, рассматриваемое с точки зрения числа k (это число n, получаемое из числа k умножением на величину (n / k)). Тогда число (m +1) предстает в двух своих ипостасях – как (m +1)? 1 (с точки зрения единицы) и как (m +1)? m (с точки зрения предшествующего числа). В первой ипостаси число волос (m +1) готово стать видимым. Если через В обозначить свойство видимости, то В((m +1)? 1). Во второй ипостаси число волос (m +1)? m не отличается от числа волос m, которое невидимо, т.е. неВ(m). Это приводит к невидимости и (m +1)? m, т.е. неВ((m +1)? m). Итак, получаем, что число волос (m +1) в разных своих состояниях обладает противоположными свойствами – видимостью и невидимостью. Так можно пытаться использовать более сложные – относительные, или ипостасные, - сотояния количества (чисел). С этой точки зрения можно различать два вида математической индукции:

1. Безусловная математическая индукция. Формулируется для чисел, данных в состояниях n? 1. В таких состояниях числа рассматриваются относительно единицы, т.е. как бы с абсолютной (безусловной) точки зрения. Аксиома математической индукции приобретет такой вид:

Свойство Р верно для 1? 1

Если свойство Р верно для n? 1, то Р верно для (n +1)? 1

Свойство Р верно для любого n? 1

2. Условная математическая индукция. Этот вид индукции предполагает использование относительных (условных) состояний чисел n? k, где k >1. Схема этой индукции может иметь, по-видимому, не единственный вид. Например, такой:

Свойство Р верно для 1? 1

Если свойство Р верно для n? 1, то Р верно для (n +1)? n или не верно для (n +1)? 1

Найдется такое m, что свойство Р верно для любого n, где n? m

В этом виде индукции мы уже не можем утверждать свойство Р для всех натуральных чисел, но только для некоторого начального отрезка множества натуральных чисел. Именно такого рода индукция необходима для разрешения парадокса лысого. Главное отличие ее будет состоять в более тонком и сложном представлении индуктивного предположения. Парадокс лысого может быть теперь представлен следующим образом:

1. Базис индукции: Р(1? 1) – человек с одним волосом на голове видимо лыс.
2. Индуктивное предположение: пусть будет верно, что P (n? 1), т.е., что человек с n числом волос на голове видимо лыс. Тогда может оказаться и так, что n – это то самое пороговое число m, начиная с которого возникает видимость числа волос. В этом случае добавление одного волоса не сделает человека видимо не лысым с точки зрения предшествующего числа волос, т.е. верным будет P ((n +1)? n), и в то же время сделает впервые видимо не лысым с точки зрения одного волоса, т.е. неР((n +1)? 1). В целом для числа волос n возникнет как бы «мерцание» то в состоянии видимости за счет оценки n с точки зрения абсолютной системы отсчета («от единицы»), то в состоянии невидимости за счет сравнения с предшествующим числом.

Теперь, если мы принимаем аксиому относительной математической индукции, мы можем сделать лишь тот верный вывод, что человек будет видимо лысым при любом числе волос у него на голове в рамках некоторого начального их числа, не более того.

Видимая противоречивость парадокса лысого, как теперь можно предположить, была связана с неразличением относительных состояний чисел и невозможностью выразить более тонкий процесс зависимости свойства от условных числовых определений. В результате индуктивное предположение относительной индукции оказалось неверно представленным как предположение безусловной индукции, что и привело к противоречию. В общем случае количество подобно цвету, который на одном фоне может сделаться сильнее, на другом – слабее. В количестве есть не только абсолютные, но и относительные определения, вносящие свой вклад в суммарное выражение этого количества.

Уже на этом примере читатель мог убедиться, сколь не проста и далека от своего окончательного разрешения проблема индукции.