Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя

на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого

(другого) столбца равна величине этого определителя (равна нулю).

Докажем, что сумма произведений элементов первого или второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃ = a₁₃A₁₃ + a₂₃A₂₃ + a₃₃A₃₃.

Так как алгебраические дополнения A₁₃, A₂₃ и A₃₃ элементов третьего столбце зависят от самих элементов a₁₃, a₂₃ и a₃₃ этого столбца, то в равенстве числа a₁₃, a₂₃ и a₃₃ можно заменить произвольными числами b₁₃, b₂₃ и b₃₃, сохраняя при этом в левой части первые два столбца определителя, а в правой части величины A₁₃, A₂₃ и A₃₃ алгебраических дополнений. Таким образом, при любых b₁₃, b₂₃ и b₃₃ справедливо равенство

a₁₁ a₁₂ b₁₃

a₂₁ a₂₂ b₂₃

a₃₁ a₃₂ b₃₃ = b₁₃A₁₃ + b₂₃A₂₃ + b₃₃A₃₃.

Беря теперь в равенстве в качестве b₁₃, b₂₃ и b₃₃ сначала элементы a₁₁, a₂₁ и a₃₁ первого столбца, а затем элементы a₁₂, a₂₂ и a₃₂ второго столбца и учитывая, что определитель с двумя совпадающими столбцами равен нулю, мы придем к следующим равенствам: a₁₁A₁₃ + a₂₁A₂₃ + a₃₁A₃₃ = 0, a₁₂A₁₃ + a₂₂A₂₃ + a₃₂A₃₃ = 0 ч.т.д.

36. Определение взаимной матрицы. Доказательство равенства А·Â=(detA)E

Матрица, транспонированная к матрицу А и обозначающаяся Â называется матрицей взаимной к матрице А

a₁₁ a₁₂ a₁₃ A₁₁ A₂₁ A₃₁ detA 0 0 1 0 0

a₂₁ a₂₂ a₂₃ · A₁₂ A₂₂ A₃₂ = 0 detA 0 =detA· 0 1 0 =detA·E

a₃₁ a₃₂ a₃₃ A₁₃ A₂₃ A₃₃ 0 0 detA 0 0 1