Основные свойства линейных кодов

1. Произведение любого кодового слова на транспонированную проверочную матрицу дает нулевой вектор размерности (n - k)

Пример. для кода (5,3)

2. Произведение некоторого кодового слова , т.е. с ошибкой, на транспонированную проверочную матрицу называется синдромом и обозначается S_i(x),

3. Между порождающей и проверочной матрицами в систематическом виде существует однозначное соответствие, а именно:

4. Кодовое расстояние d₀ (n, k) -кода равно минимальному числу линейно зависимых столбцов проверочной матрицы

Пример. для кода (5,3): , d₀ = 2; для кода (5,2): , d₀ = 3

5. Произведение информационного слова на порождающую матрицу дает кодовое слово кода

Пример. для кода (5,3):

6. Два кода называются эквивалентными, если их порождающие матрицы отличаются перестановкой координат, т.е. порождающие матрицы получаются одна за другой перестановкой столбцов и элементарных операций над строками.

7. Кодовое расстояние любого линейного (n, k) -кода удовлетворяет неравенству (граница Сингтона). Линейный (n,k) -код, удовлетворяющий равенству , называется кодом с максимальным расстоянием.