Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Правильной областью в полярных координатах назовем такую область, границу которой каждый луч, выходящий из полюса, пересекает не более чем в двух точках (рис.4).

ρ=Φ ₂(φ)

Рис.4.

ρ=Φ ₁(φ)

φ ₂ φ ₁

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ ₁(φ) и ρ=Φ ₂(φ), где φ _{1 <} φ < φ ₂,

непрерывную функцию z = f(φ, ρ). Разобьем область D на части Δ S_ik, ограниченные лучами ρ = ρ _{i- 1} и ρ = ρ _i, выходящими из полюса, и дугами окруж-ностей φ = φ _{k -1} и φ = φ _k с центром в полюсе, и составим интегральную сумму , где P_ik – точка, принадлежащая Δ S_ik. Найдем площадь части Δ S_ik, не пересекаемой границей области, как разность площадей двух секторов:

, где . Учитывая, что площади частей, пересекаемых границей области, стремятся к нулю при и , получим:

(24.18)

Пример. Выведем с использованием двойного интеграла формулу для площади круга радиуса R с центром в начале координат: