Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства двойных интегралов.Стр 1 из 6Следующая ⇒ Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:
1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем (24.4)
2. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом (24.5)
3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y), то (24.6)
Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:
4. Если область D разбита на две области D 1 и D 2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то (24.7) Доказательство. Интегральную сумму по области D можно представить в виде: где разбиение области D проведено так, что граница между D 1 и D 2 состоит из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при , получим равенство (24.7).
5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство (24.8)
Доказательство. откуда с помощью предельного перехода при получаем неравенство (24.8)
6. где SD – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.
7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству m ≤ f(x, y) ≤ M, то (24.9) Доказательство. Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства Следствие. Если разделить все части неравенства (24.9) на D, можно получить так называемую теорему о среднем: В частности, при условии непрерывности функции f в D найдется такая точка этой области (х0, у0), в которой f (х0, у0) = μ, то есть - - еще одна формулировка теоремы о среднем.
Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим тело V, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость О ху и боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями.
z=f(x,y) z V y • Pi D Рис.2.
Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части Δ Si области D, а высотами – отрезки длиной f (Pi), где точки Pi принадлежат Δ Si. Переходя к пределу при , получим, что (24.11) то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областью D.
|