Вычисление объемов тел.

Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая (рис. 1), что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b] см. рис. 1) поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b] задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b] то справедлива формула

(1)

Полное доказательство этой формулы дается в курсах математического анализа, а здесь остановимся на наглядных соображениях, приводящих к ней.

Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков равной длины точками x₀ = a <x₁ <x₂ <... <x_n-1 <b=х_n, и пусть

Через каждую точку х_k проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои (рис. 2, а, б). Объем слоя, заключенного между плоскостями α_k-1 и α_k, при достаточно больших n приближенно равен площади S(x_k-1) сечения, умноженной на «толщину слоя» Δx, и поэтому

(1)

Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше n. Поэтому V_n →V при n → ∞. По определению интеграла

при n → ∞.