Обоснование алгоритмов моделирования на ЭВМ

Для решения системы дифференциальных уравнений используем численные методы. Простейшим численным методом интегрирования является метод Эйлера. Но этот метод имеет недостатки: малая точность и систематическое накопление ошибок.

Более совершенным является модифицированный метод Эйлера, который фактически учитывает квадратичные члены разложения функции в ряд Тейлора, а метод Эйлера учитывает только линейный член, но его погрешность пропорциональна шагу в кубе.

Более точным является метод Рунге - Кутта четвертого порядка, который базируется на учете четырех членов разложения функции в ряд Тейлора.

Для решения системы дифференциальных уравнений вида:

.....................

При моделировании системы пользовались математическим редактором MathCAD, позволяющим проводить сложные реализации численных методов, а так же для получения решения нелинейных уравнений, для нахождения частных производных.

В MathCAD имеются три встроенные функции, которые позволяют решать задачу Коши различными численными методами. В данной работе использован метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Z = rkfixed (y0,t0,t1,M,D)

• y0 – вектор начальных значений в точке t0 размера N*1;

• t0 – начальная точка расчета;

• t1 – конечная точка расчета;

• M – число шагов, на которых численный метод находит решение;

• D – векторная функция размера N*1 двух аргументов – скалярного t и векторного y. При этом у – искомая векторная функция аргумента t того же размера N*1.

Для построения графиков, необходимо отложить соответствующие компоненты матрицы решения по координатным осям: значения аргумента Z^<0>– вдоль оси х, а Z^<1>– вдоль оси у.

Вычислительный процессор MathCAD обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования. Возможности символьного процессора позволяют осуществлять рутинную работу вычисления производных громоздких функций. Для того чтобы продифференцировать функцию необходимо воспользоваться оператором дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на панели Calculus (Вычисления).

Любая САУ имеет свои конструктивные особенности и характеристики, которые влияют на поведение САУ. Для построения рациональных САУ возникает необходимость в построении статических и динамических характеристик. Статическая характеристика системы называется зависимость ее выходной величины от входной в установившемся состоянии.

Статические характеристики, в курсовом проекте, определял аналитическим методом (расчетным путем). Графики строил в системах координат, где по оси абсцисс откладывается возмущающее воздействие, а по оси ординат – выходная величина. Проанализируем полученные зависимости.

Увеличивая давление Р₁ на входе емкости наблюдаем рост уровня жидкости h, что приводит к росту давления воды Р_v и газа Р_g. Увеличение коэффициента расхода α₁ на входе в систему_, ведет к увеличению высоты столба жидкости h и к росту давления Р_v и Р_g. При увеличении коэффициента расхода α_2, уровень жидкости h уменьшается, а следовательно, уменьшается и давление Р_v и Р_g.

Динамическая характеристика системы называется зависимость выходной величины от входной в переходном режиме при определенном законе изменения входной величины. Динамические свойства выражаются ДУ, а графически – кривыми в системах координат, где по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – выходная величина.

Рассмотрим полученные динамические характеристики.

При увеличении притока α₁ уровень h в резервуаре начинает возрастать до нового установившегося значения. С ростом уровня h уменьшается объем занимаемый газом, следовательно, давление газа Pg будет возрастать.

При увеличении стока α₂ высота уровня жидкости плавно уменьшается до нового установившегося значения. Давление Pv и Pg падает до установления новых значений. Увеличивая давление P₁ на входе емкости можно наблюдать аналогичные кривые разгона, что и при изменении степени открытия вентиля 1 (т.е. увеличении коэффициента расхода α₁). При уменьшении степени открытия первого и второго ссужающего устройства (α_1, α₂), а так же уменьшая давление Р₁, наблюдаемые параметры h, Pv и Pg будут меняться соответственно.

Линеаризацию провели, раскладывая выражения для Q₁ и Q₂ в ряд Тейлора. В результате получил ДУ в линеаризованном виде. Кривые разгона линеаризованной модели выглядят аналогично нелинейной.

Совместив графики линеаризованной и нелинейной моделей видно, что они практически совпадают.

Список литературы

1. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: учебное пособие для вузов.- М.:Высш. шк.,1991.- 400с.

2. Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. Математическое описание процессов. М.: Химия – 1973.-224с.

3. Курс лекций.

4. Ю. В. Васильков, Н. Н. Василькова. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. Москва, Финансы и статистика, 1999 г.