Задачи на электрическое поле

Задача 1 (2). Объемные заряды с неизменной плотностью p=10^-8 Кл/см³ расположены в пространстве, ограниченном двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями. Радиус внутренней цилиндрической поверхности r₁=1 см, внешней - r₂=4 см. Диэлектрическая проницаемость вещества между двумя цилиндрическими поверхностями , в остальной части пространства .

Требуется:

1) определить потенциал электрического поля во всем пространстве как функцию расстояния до оси цилиндров.

При составлении выражений для потенциала считать, что потенциал внешней цилиндрической поверхности равен нулю.

2) вариант а - найти напряженность электрического поля в тех точках, где она имеет максимальное значение;

вариант б - найти значение криволинейного интеграла в

; координаты точек А и В: R_A=2 см, α_A=45⁰, R_B=6 см, α_B=180⁰;

вариант в - найти плотность поверхностных связанных зарядов на границе r₂=4 см;

вариант г - построить зависимость модуля вектора электрического смещения как функцию расстояния до оси цилиндров;

вариант д - найти разность потенциалов между цилиндрическими поверхностями, окружающими заряд.

Задача 2 (10). К плоскому конденсатору с двухслойной изоляцией (рис. 8.148) приложено напряжение U= 1000 В. Диэлектрические проницаемости и толщины слоев изоляции: , площадь пластин S=25 см².

Требуется:

1) определить емкость конденсатора;

2) вариант а - построить графики зависимостей Е(х), D(x), , приняв при х=0;

вариант б - определить поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектриков;

вариант в - построить график зависимости Р(х);

вариант г - построить совокупность силовых и эквипотенциальных линий в каждом слое, вычислить разность потенциалов между точками А(х_А = 0,1 см, у_А = 1 см) и B(х_В=0,35 см, );

вариант д - построить график изменения объемной плотности энергии и определить энергию электрического поля конденсатора.

Задача 3 (15). В воздухе между двумя цилиндрическими поверхностями, оси которых параллельны, равномерно распределен заряд с объемной плотностью Кл/м³. Взаимное расположение цилиндрических поверхностей с указанием размеров дано на рис. 8.149.

Требуется:

1) определить вектор напряженности электрического поля внутри малого цилиндра;

2) определить разность потенциалов между точками, находящимися на поверхности малого цилиндра:

вариант а - точки А и Е;

вариант б -точки С и К;

вариант в - точки М и D;

вариант г - точки М и В;

вариант д - точки В и F.

Задача 4 (18). Коаксиальный кабель с двухслойной изоляцией сконструирован так, что максимальная и минимальная напряженности электрического поля во внутреннем изоляционном слое равны соответственно максимальной и минимальной напряженностям электрического поля во внешнем изоляционном слое. Диэлектрическая проницаемость внутреннего слоя изоляции , а внешнего . Радиус внутренней жилы кабеля мм. Устройство коаксиального кабеля показано на рис. 8.150.

Требуется:

1) учитывая указанную особенность электрического поля, определить внутренний радиус наружной жилы кабеля R₂ и толщины обоих слоев изоляции;

2) построить зависимость модулей напряженности электрического поля и вектора электрического смещения от расстояния r до оси кабеля, полагая, что к его жилам подведено напряжение 250 В; положительный полюс источника присоединен к внутренней жиле;

3) вариант а - построить график зависимости модуля вектора поляризации от расстояния r;

вариант б - найти плотность поверхностных связанных зарядов на границе раздела двух изоляционных слоев;

вариант в - определить потенциал точек на границе раздела изоляционных слоев, полагая, что потенциал наружной оболочки кабеля равен нулю;

вариант г -подсчитать емкость кабеля на единицу его длины;

вариант д - определить энергию электростатического поля кабеля на единицу его длины.

Задача 5 (13). Равномерное электрическое поле, существующее в среде с диэлектрической проницаемостью (направление поля показано на рис. 8.151), возмущено внесенным в поле проводящим шаром, несущим на себе заряд Кл. Напряженность невозмущенного электрического поля Е₀=10³ В/м. Радиус шара а = 4 см.

Требуется:

1) построить полярную диаграмму плотности заряда на поверхности шара в плоскости рисунка;

2) вариант а - определить напряженности электрического поля в точке А (х_А = 7,35 см, z_А = 3,2 см) и в точке В (х_В = 0, z_В = 5 см);

вариант б - по 5-6 точкам построить след эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку А (х_А = 6,4 см, z_А = 3,2 см);

вариант в - по 5-6 точкам построить след эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку В (х_В = 0, z_В = 5 см);

вариант г - построить график изменения потенциала по 5-6 точкам, лежащим на оси z в интервале ;

вариант д - построить график изменения напряженности электрического поля E(z) по 5-6 точкам, лежащим на оси z в интервале .

Указание.В вариантах г и д точки рекомендуется взять так, чтобы одна была в центре шара, а остальные были расположены симметрично по отношению к оси х.

Задача 6 (17). Равномерное электростатическое поле, существовавшее в воздухе и направленное по оси х (рис. 8.152), возмущено длинным медным цилиндром, ось которого перпендикулярна вектору поля . Модуль вектора Е₀= 50 В/м. Радиус медного цилиндра см.

Требуется:

1) по 5-6 точкам во втором квадранте построить след эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку A (R_A = 1,3 см, α_А = 120⁰);

2) вариант а - построить график зависимости поверхностной плотности зарядов на цилиндре от угла ;

вариант б - найти заряд, индуцированный на левой половине цилиндра, на единицу его длины;

вариант в - определить значение максимальной напряженности возмущенного электростатического поля и вычислить, во сколько раз оно больше напряженности невозмущенного поля; построить кривую Е_х (х) для точек на оси абсцисс;

вариант г - определить разность потенциалов между точками A (R_A = 13 см, α_А = 120⁰) и В (R_В = 2 см, α_В = 0⁰);

вариант д - построить зависимость Е_х(у) для точек на оси ординат.

Задача 7 (37). Равномерное электрическое поле с напряженностью Е₀=10 В/м, существующее в среде с удельной проводимостью См/м и направленное по оси х (рис. 8.153), возмущено внесенным в поле цилиндром с удельной проводимостью См/м. Ось цилиндра перпендикулярна Е₀, его радиус а = 8 см.

Требуется:

вариант а - определить напряженность поля на оси цилиндра и в точке В (х_В = 3,15 см, y_В = 9,5 см);

вариант б - по 5-6 точкам построить след эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку В (х_В = 3,15 см, y_В = 9,5 см);

вариант в - по 5-6 точкам построить след эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку А (х_А = 4 см, y_А = 6 см);

вариант г - найти значение тока, проходящего через цилиндр, на единицу его длины;

вариант д - построить кривую зависимости плотности тока на поверхности цилиндра от угла .

Указание.При построении эквипотенциали учесть, что кривая симметрична относительно оси х и поэтому все точки берем в одном квадранте.

Задача 8 (7). Два тонких параллельных провода расположены над проводящей поверхностью. Провода несут заряды, линейные плотности которых Кл/м и Кл/м. Взаимное расположение проводов и необходимые размеры указаны на рис. 8.154. Провода одинакового сечения, их диаметр D = 10 мм. Среда, окружающая провода — воздух.

Требуется:

1) построить график распределения плотности поверхностных зарядов от координаты х в интервале от х = - 40 см до х = +60 см;

2) вариант а - найти частичную емкость между проводами;

вариант б - найти потенциал в точке A (х_А = 40 см, y_А = 10 см), полагая, что потенциал проводящей поверхности равен нулю;

вариант в - найти силу, действующую на единицу длины второго провода;

вариант г - определить разность потенциалов между проводами;

вариант д - найти энергию электрического поля, образованного проводами, на единицу их длины.

Задача 9 (16). Параллельно безграничной плоскости раздела двух диэлектриков и параллельно друг другу расположены два тонких длинных провода. Провод 1 с зарядом Кл/м и провод 2 с зарядом Кл/м. Взаимное расположение проводов и плоскости раздела диэлектриков приведено на рис. 8.155. Радиусы проводов одинаковы и равны r₀ = 1 мм, h₁ = 50 мм, h₂ = 30 мм, d = 100 мм, , .

Определить:

вариант а - разность потенциалов между проводом 1 и точкой А с координатами x = 0, y = 0;

вариант б - напряженность поля в точке С;

вариант в - силу, действующую на единицу длины провода 1;

вариант г - разность потенциалов между точкой В (х_в = 100, у_в =0) и проводом 2;

вариант д - напряженность поля в точке D.

Задача 10 (30). Сферический заземлитель (электрод) радиусом R₀ находится в грунте с удельной проводимостью _:. По вертикальному кабелю к заземлителю подводится ток I. Второй электрод удален бесконечно далеко, его потенциал равен нулю. Положение заземлителя приведено на рис. 8.156. Значения а и b приведены в таблице:

Вариант	a, см	b, см	R0, см	, См/м	I, A
а				-
б			-
в					-
г
д

Указание. При решении следует применить метод зеркальных изображений по аналогии с электростатикой, заменив в соответствующих формулах заряды на токи и на . Смещением электрических центров шаров относительно геометрических пренебречь.

Требуется:

1) качественно построить картину поля;

2) вариант а - рассчитать сопротивление заземлителя, равное ;

вариант б - определить напряжение между точками р и q, лежащими на горизонтальной границе раздела сред, если расстояние между ними = 1 м;

вариант в - найти ток короткого замыкания I, стекающий по заземлителю, при котором шаговое напряжение не превышает 15 В. Длину шага человека принять равной 0,8 м;

вариант г - вычислить удельную проводимость грунта, если напряжение между точками m и n, находящимися на вертикальной границе раздела сред на расстоянии l_mn = 1 м друг от друга, равно 80 В;

вариант д - определить радиус заземлителя R₀, если шаговое напряжение не превышает 10 В. Длина шага человека 0,8 м.

Задачи на магнитное поле

Задача 1 (3). Однородное магнитное поле с напряженностью H₀ =100 А/м, существующее в воздухе и направленное вдоль оси х (рис. 8.157), возмущено введением длинного круглого ферромагнитного цилиндра. Ось цилиндра расположена перпендикулярно плоскости рисунка. Вещество цилиндра имеет магнитную проницаемость μ_r = 100. Радиус цилиндра а = 10 см.

Требуется:

1) определить магнитный скалярный потенциал возмущенного поля во всех точках пространства как функцию координат r и a, полагая, что потенциал плоскости у = 0 равен нулю;

2) вариант а - определить вектор напряженности магнитного поля в точке А(х_А = 12 см, y_А = 0);

вариант б - определить вектор магнитной индукции в точке В (х_в =0, у_в= 12 см);

вариант в - найти магнитный поток через сечение цилиндра CD на единицу длины;

вариант г - построить эквипотенциальную линию, проходящую через точку А ();

вариант д - построить кривую зависимости скалярного магнитного потенциала от координаты на поверхности цилиндра.

Задача 2 (23). В равномерное магнитное поле H₀ = 100 А/м, существующее в воздухе и направленное по оси х (рис. 8.158), помещен длинный медный провод круглого сечения диаметром 4 см, который окружен магнитным экраном. По проводу в направлении «от нас» проходит постоянный ток I = 2,1 А. Магнитный экран выполнен в виде концентрически расположенной относительно оси провода стальной трубы, имеющей стенку толщиной 1 см и внешний диаметр 10 см. Магнитная проницаемость стали

Требуется:

вариант а - построить график зависимости напряженности магнитного поля Н(у) от расстояния до оси провода для точек, лежащих на оси у, в пределах изменения у от -4 см () до 4 см ();

вариант б - найти в плоскости рис. 5.18 точки, в которых напряженность магнитного поля равна нулю;

вариант в - найти в плоскости рис. 5.18 точки, в которых напряженность магнитного поля равна нулю, если направление тока по проводу изменилось на противоположное;

вариант г - построить график зависимости векторного потенциала А(у) от расстояния до оси провода для точек, лежащих на оси у в пределах изменения у от - 4 см () до 4 см (); значение векторного потенциала в начале координат принять равным нулю;

вариант д - определить магнитный поток на единицу длины между проводом и экраном в плоскости yoz.

Указание.При решении воспользоваться методом наложения.

Задача 3 (33). Катушка из w витков тонкой проволоки, выполненная в виде прямоугольной рамки со сторонами а и b, находится в воздухе в равномерном магнитном поле А/м и защищена экраном, выполненным в виде стальной трубы. Взаимное расположение рамки, экрана и внешнего равномерного поля представлено на рис. 8.159.

Определить:

вариант а - наименьший внешний диаметр трубы D₂ с таким расчетом, чтобы момент, действующий на рамку со стороны внешнего поля, не превышал бы ; , w = 10, a = 6 см, b = 10 см; внутренний диаметр трубы D₁ = 8 см; ток, протекающий по рамке, I = 0,1 А;

вариант б - наименьший внутренний диаметр трубы D₁ с таким расчетом, чтобы момент, действующий на рамку со стороны внешнего поля, не превышал бы ; , w = 5, a = 5 см, b = 12 см; внешний диаметр трубы D₂ = 10 см; ток, протекающий по рамке, I = 0,2 А;

вариант в - момент, действующий на рамку со стороны внешнего поля, если , w = 500, a = 4 см, b = 15 см; внутренний диаметр трубы D₁ = 8 см; толщина трубы 1 см; текущий по рамке ток равен 0,2 А;

вариант г - величину магнитной проницаемости стальной трубы, если при внутреннем диаметре трубы D₁ = 8 см и внешнем диаметре D₂ = 10 см ослабление напряженности магнитного поля внутри трубы Н₀/Н =10; вычислить потокосцепление рамки;

вариант д - магнитную проницаемость трубы с таким расчетом, чтобы момент, действующий на рамку со стороны внешнего поля, не превышал бы ; w = 10, a = 6 см, b = 10 см; внутренний диаметр трубы D₁ = 8 см; внешний диаметр трубы D₂ = 10 см; ток, протекающий по рамке, 0,1 А.

Задача 4 (36). Равномерное магнитное поле, существующее в среде с магнитной проницаемостью (рис. 8.160), возмущено внесенным в поле шаром, вещество которого имеет магнитную проницаемость . Напряженность невозмущенного поля Н₀ = 10³ А/м, радиус шара а = 4 см.

Требуется:

1) записать выражения для скалярного магнитного потенциала возмущенного поля внутри и вне шара, как функцию координат R и , полагая при R = 0;

2) вариант а - определить напряженность магнитного поля в центре шара и в точке A (z_A = 3 см, = 4 см);

вариант б - по 5-6 точкам построить след эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку A (z_A = 3 см, х_А = 4 см);

вариант в - по 5-6 точкам построить след эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку В (z_B = 2,71 см, х_В = 0);

вариант г - определить значение магнитного потока Ф, проходящего через шар;

вариант д - построить график Н() для точек внешней поверхности шара, расположенных в плоскости рисунка.

Указаниек вариантам б и в - при построении эквипотенциали учесть, что кривая симметрична относительно оси х и потому все точки берем в одном квадранте.

Задача 5 (6). По прямоугольной и весьма длинной стальной шине, изображенной на рис. 8.161, в направлении оси у проходит постоянный ток I = 100 A, h = 5 см, 2a = 0,4 см. Учитывая, что ширина шины во много раз больше ее толщины 2а, можно считать, что как внутри шины, так и вблизи ее магнитное поле зависит только от координаты х. Магнитная проницаемость стальной шины , магнитная проницаемость окружающей среды равна .

Требуется:

1) на основе указанного допущения определить векторный магнитный потенциал как функцию координаты х для трех областей: внутри шины, вне шины при х > +а и вне шины при х< -а;

2) построить график зависимости модуля векторного потенциала от координаты х в интервале от х = - 1 см до х = +1 см.

Указание. При определении векторного потенциала считать, что в точках плоскости х = 0 векторный потенциал равен нулю;

3) вариант а - найти индукцию в функции координаты х во всех трех областях пространства, исходя из соотношения ;

вариант б - найти магнитный поток, пронизывающий прямоугольную площадку, находящуюся в плоскости хоу и образованную двумя парами параллельных прямых, проходящих через точки х = 0,1 см, у = 0; х = 0,5 см, у = 0; х = 0,1 см, y = 10 см; х = 0,5 см, y = 10 см;

вариант в - найти энергию магнитного поля внутри шины на единицу его длины. Для определения энергии использовать выражение (dV - элемент объема шины);

вариант г - определить зависимость модуля вектора Пойнтинга от расстояния х внутри шины, т. е. П = f(x), если проводимость стали (См/м);

вариант д - найти магнитный поток внутри шины на единицу ее длины.

Задача 6 (34). Плоские шины толщиной 2а = 2 мм, высотой h = 3 см расположены параллельно друг другу на расстоянии 2b = 3 мм. Длина шин 5 м, удельная проводимость материала шин См/м, магнитная проницаемость . В шинах протекает постоянный ток I = 100 А, приложенное между ними напряжение равно 60 В. Определить векторный потенциал как функцию координаты х для трех областей: вне шины при , внутри и вне шины при (рис. 8.162), приняв при х = 0, А = 0.

Требуется:

вариант а - построить для трех областей график модуля индукции В(х);

вариант б - построить график модуля напряженности Н(х);

вариант в - построить график модуля векторного потенциала А (х);

вариант г - построить график модуля вектора Пойнтинга П(х);

вариант д - определить величину магнитного потока Ф, пронизывающего пространство между шинами, на единицу их длины двумя методами: рассматривая Ф как поток вектора магнитной индукции и через векторный магнитный потенциал.

Задача 7 (8). По длинной уединенной медной трубе, сечение которой с указанием размеров дано на рис. 8.163, течет постоянный ток I = 1000 А. Магнитная проницаемость среды как внутри трубы, так и вне ее . Удельная проводимость меди См/м.

Требуется:

1) определить векторный магнитный потенциал как функцию расстояния от оси трубы для трех областей: Принять, что векторный потенциал в точках, лежащих на внешней стороне трубы, равен нулю;

2) вариант а - рассчитать магнитный поток, замыкающийся внутри стенки трубы, на единицу ее длины;

вариант б - определить значение магнитной индукции во всех трех областях и построить график зависимости индукции от расстояния до оси трубы;

вариант в - найти значение напряженности магнитного поля во всех трех областях и построить график зависимости напряженности магнитного поля во всех трех областях от расстояния до оси трубы;

вариант г - вычислить вектор Пойнтинга в точке, соответствующей = 1,5 см;

вариант д - определить энергию магнитного поля, сосредоточенную в стенках трубы, на единицу длины.

Задача 8 (14). Две длинные коаксиальные стальные трубки служат прямым и обратным проводами линии постоянного тока. Ток в этой линии 100 А: по внешней трубке ток течет «от нас». Размеры трубок указаны на разрезе рис. 8.164. Магнитная проницаемость стали, из которой изготовлены трубки, , а среды, заполняющей остальное пространство,

Требуется:

1) найти зависимость модуля векторного магнитного потенциала А=f(r) в тех областях, где определяется магнитный поток. Считать, что векторный потенциал в точках на наружной поверхности внутренней трубки равен нулю;

2) определить на единицу длины провода:

вариант а - магнитный поток, замыкающийся по внутреннему проводу;

вариант б - магнитный поток, замыкающийся в пространстве между проводами;

вариант в - магнитный поток, замыкающийся по внешнему проводу;

вариант г - суммарный магнитный поток, замыкающийся в пространстве между проводами и по внутреннему проводу;

вариант д - суммарный магнитный поток, замыкающийся в пространстве между проводами и по внешнему проводу.

Задача 9 (28). Параллельно безграничной плоскости раздела двух различных ферромагнитных сред и параллельно друг другу расположены два длинных тонких провода. Вблизи линии находится виток, имеющий вид прямоугольной рамки. Взаимное расположение проводов линии, проводов витка и плоскости раздела ферромагнитных сред приведено на рис.8.165. Размер витка в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, равен 100 мм, радиус проводов r₀ = 1 мм, a = 50 мм, b = 50 мм, c = f = d = 20 мм

Определить:

вариант а - поток, пронизывающий виток в положении 1, если в проводах линии протекает постоянный ток I = 100 А в различных направлениях;

вариант б - взаимную индуктивность между двухпроводной линией и витком в положении 1;

вариант в - поток, пронизывающий виток в положении 1, считая, что по обоим проводам линии протекает постоянный ток I = 100 А в одинаковом направлении;

вариант г - поток, пронизывающий виток в положении 2, если в проводах линии протекает постоянный ток I = 100 А в различных направлениях;

вариант д - взаимную индуктивность между двухпроводной линией и витком в положении 2.

Задача 10 (29). Квадратная рамка с числом витков w = l и током А расположена в одной плоскости с длинным прямолинейным проводом с током А. Размеры указаны на рис. 8.166.

Определить:

вариант a - взаимную индуктивность М между проводом и рамкой;

вариант б - силу воздействия на рамку протекающего по проводу тока;

вариант в - величину и направление магнитной индукции В в центре рамки с учетом магнитного поля провода и рамки;

вариант г - то же, что и для варианта в, если направление тока противоположно заданному на рисунке;

вариант д - величину и направление магнитной индукции В в центре круглого витка (вписанная в квадрат окружность, показанная на рисунке пунктиром) с учетом магнитного поля провода и витка. Направление токов I₁ и I₂ показано на рис. 8.166.

Рис. 8.148 Рис. 8.149 Рис. 8.150

Рис. 8.151 Рис. 8.152

Рис. 8.153 Рис. 8.154 Рис. 8.155

Рис. 8.156 Рис. 8.157 Рис. 8.158

Рис. 8.159 Рис. 8.160 Рис. 8.161

Рис. 8.162 Рис. 8.163 Рис. 8.164

Рис. 8.165 Рис. 8.166

При составлении заданий использовались Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Основы теории цепей: учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник для вузов / Л.А. Бессонов. М.: Гардарики, 2002. 638 с.

3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: учебник для вузов / Л.А. Бессонов. М.: Высшая школа, 1986. 263 с.

4. Теоретические основы электротехники: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников / Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди и др. - М.: Высшая школа, 1987. 158 с.

5. Сивяков Б.К. Теоретические основы электротехники. учеб. пособие / Б.К. Сивяков, И.Л. Дубинская, С.В. Осипова. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2003. 116 с.