Частотные характеристики сигналов

Спектр сигнала является важнейшей характеристикой сигнала. Его частотный состав определяет требования к узлам аппаратуры связи – помехозащищенность, возможность уплотнения.

Спектральная плотность описывает сигнал в частотной области и определяется с помощью прямого преобразования Фурье:

, (1.4)

где – временная функция сигнала; – круговая частота.

Использование преобразования Фурье позволяет относительно простым образом анализировать прохождение сигналов через различные цепи и каналы связи, выполняя все необходимые расчеты в частотной области. Затем итоговую спектральную плотность следует перевести во временную область путем обратного преобразования Фурье:

, (1.5)

В данном курсовом проекте обратное преобразование не используется, задача ограничивается только поиском и анализом спектров сигналов. Приведем несколько свойств спектральной плотности.

Свойство вещественной и мнимой частей спектра состоит в том, что при четной функции мнимая часть , а при нечетной – . Это следует непосредственно из интегральных форм.

Свойство линейности выражается в том, что если имеется несколько сигналов и у каждого из них имеется спектральная плотность , то спектральная плотность суммы сигналов равна сумме их спектральных плотностей.

Смещение сигнала во времени. Предположим, что для сигнала спектр известен. Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий с задержкой на . Его спектр будет равен:

. (1.6)

Спектральная плотность первого сигнала имеет следующий аналитический вид:

. (1.7)

Модуль спектральной плотности первого сигнала находится из аналитического выражения спектральной плотности (1.7). График модуля спектральной плотности приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Модуль спектральной плотности первого сигнала.

Фаза спектральной плотности также находится из аналитического выражения спектральной плотности. В данном случае для первого сигнала мнимая часть на всей полосе частот.

Спектральная плотность второго сигнала имеет вид:

. (1.8)

Модуль спектральной плотности второго сигнала находится из аналитического выражения спектральной плотности (1.8). График модуля спектральной плотности приведен на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Модуль спектральной плотности второго сигнала.

Фаза спектральной плотности определяется из текущего аналитического выражения для спектральной плотности. График фазы спектральной плотности показан на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Фаза спектральной плотности второго сигнала.

Спектральная плотность третьего сигнала имеет следующий аналитический вид:

. (1.9)

Модуль спектральной плотности третьего сигнала находится из аналитического выражения спектральной плотности (1.9). График модуля спектральной плотности приведен на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Модуль спектральной плотности третьего сигнала.

Фаза спектральной плотности третьего сигнала находится из аналитического выражения спектральной плотности. В данном случае из (1.9) следует, что мнимая часть на всей полосе частот.

Энергия сигнала

Показатели энергии и мощности сигналов – важнейшие характеристики, определяющие коэффициент полезного действия передатчика и качество работы приемника системы связи. Поскольку существует два вида представления сигналов – временное и спектральное, то данные показатели могут быть вычислены двумя способами.

Полная энергия одиночного сигнала во временной области вычисляется по формуле:

. (1.10)

Неполная энергия, необходимая для вычисления граничных частот, определяется как заданный процент от полной энергии. В данной работе процент составляет 0,979. Таким образом:

. (1.11)

В частотной области энергия непериодического сигнала может быть вычислена через его спектральную плотность с помощью равенства Парсеваля:

. (1.12)

Если в (1.12) бесконечный предел интегрирования заменить конечным значением , то будет рассчитана определенная часть энергии сигнала. Этим способом пользуются при ограничении спектров сигналов.

Вычислим энергию первого сигнала, подставив (1.1) в (1.10):

(Дж).

Найдем неполную энергию первого сигнала по формуле (1.11):

(Дж).

Для вычисления энергии первого сигнала через равенство Парсеваля подставим (1.7) в (1.12):

(Дж).

Графики зависимости энергии первого сигнала от частоты показаны на рис. 1.8.

Рассчитаем полную энергию второго сигнала во временной области:

(Дж).

Неполная энергия второго сигнала равняется:

(Дж).

Для вычисления энергии второго сигнала через равенство Парсеваля подставим (1.8) в (1.12):

(Дж).

Графики зависимости энергии второго сигнала от частоты показаны на рис. 1.9.

Рис. 1.8. Зависимость энергии первого сигнала от частоты.

Рис. 1.9. Зависимость энергии второго сигнала от частоты.

Рассчитаем полную энергию третьего сигнала во временной области:

(Дж).

Неполная энергия третьего сигнала равняется:

(Дж).

Для вычисления энергии третьего сигнала через равенство Парсеваля подставим (1.9) в (1.12):

(Дж).

Графики зависимости энергии третьего сигнала от частоты показаны на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Зависимость энергии третьего сигнала от частоты.