Общая теория линейных систем

Лекции 9-10

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных :

Определение. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Напомним, что система линейных уравнений может быть записана в матричной форме:

,

где — матрица системы, — правая часть, — искомое решение,

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

где — столбцы матрицы системы.

Обозначим

Матрица называется расширенной матрицей системы.

Определение. Если правая часть системы равна нулю, то система называется однородной.

Определение. Для системы однородная система (с той же матрицей системы A) называется приведенной однородной системой.

Свойства решений систем линейных алгебраических уравнений

Используя свойства линейных операций с матрицами, нетрудно доказать, справедливость следующих утверждений.

1. Если и — два решения однородной системы , то при любых действительных числах α и β вектор — решение системы .

2. Если и — два решения неоднородной системы , то вектор — решение приведенной однородной системы однородной .

3. Если решение неоднородной системы , а — решение однородной системы , то вектор — решение неоднородной системы .

Докажем, например, первое из этих свойств. Пусть и — два решения системы , т. е. и и пусть α и β любые действительные числа. Тогда , т.е. вектор — решение однородной системы.

Остальные утверждения докажите аналогично самостоятельно.

Необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений

На вопрос о совместности системы линейных алгебраических уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема (теорема Кронекера-Капелли). Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.