Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Доказательство теоремы ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Необходимость. Система нетривиально совместна. Это означает, что существуют числа не все равные нулю, для которых справедливо . Последнее равенство означает, что n столбцов матрицы систем линейно зависимы и, следовательно, ранг матрицы системы (максимальное число линейно независимых столбцов) меньше числа столбцов, меньше числа неизвестных. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных. По теореме о базисном миноре из этого следует, что существует отличный от нуля минор матрицы порядка r. Не умаляя общности, будем полагать, что базисный минор — главный минор матрицы Рассмотрим первые r уравнений системы (по теореме о базисном миноре остальные уравнения — линейные комбинации этих первых уравнений): Оставим слева первые r неизвестных, а остальные n-r неизвестные перенесем вправо и получим неоднородную систему линейных уравнений относительно неизвестных : Определитель полученной системы — отличный от нуля базисный минор Mr. Уравнения системы справедливы при произвольных значениях переменных Их естественно называть свободными. А переменные в левой части уравнений системы естественно назвать базисными. Базисные переменные можно вычислить по формулам Крамера , i = 1, 2, …, r. Здесь — определитель матрицы системы, а — определитель, полученный из Mr заменой i- го столбцом правых частей. Вычислим, например, x 1. Здесь — некоторые числа. Итак, . Аналогично — т.е. базисные переменные линейно выражаются через свободные переменные. Положим, например такие значения свободных переменных: Тогда вектор — отличное от тождественного нуля решение однородной системы . Т.е. однородная система нетривиально совместна. Теорема доказана. Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения однородной системы Вспомним, что решения однородной системы — векторы из Rn. Вспомним также, что в силу свойств решений линейной однородной системы множество L ее решений — линейное подпространство в Rn. Действительно: если и — два решения однородной системы , то при любых действительных числах α и β вектор — решение системы , иначе говоря, для любых и и любого числах α и . Доказано также, что если ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n, то система имеет ненулевые решения. Определение. Выражение, позволяющее вычислить все (любое) решения системы, называется общим решением системы. В теореме о нетривиальной совместности однородной системы показано, что если r — ранг матрицы системы, то r базисных переменных выражаются через свободные переменные по формулам , . Здесь для простоты полагали, что базисные переменные — это первые r переменных. Вообще говоря, это могут быть любые r переменных. Итак, , — т.е. базисные переменные линейно выражаются через свободные переменные. Построим n-r ненулевых решений однородной системы специальным образом. Сначала положим и полученное решение обозначим . Затем положим и полученное решение обозначим , и т.д., и, наконец, положим и полученное решение обозначим . Имеем (см. док-во теоремы о нетривиальной совместности) . Нетрудно видеть, что эти n-r ненулевые решения линейно независимы. Действительно, запишем матрицу, столбцами которой являются векторы : . Минор этой матрицы, расположенный в последних n-r строках равен 1, отличен от нуля. Это означает, что ранг матрицы равен n-r и что ее n-r столбца линейно независимы. А столбцы этой матрицы — ненулевые решения однородной системы . С другой стороны, любое решение системы, в соответствии с приведенными выше формулами, можно записать в виде: Здесь произвольные значения свободных переменных обозначены буквами . Подведем итог: ü построена система , состоящая из n-r линейно независимых решений однородной системы; ü любое решение системы линейно выражается через решения ; ü множество решений однородной системы — линейное подпространство. Тогда можно утверждать: 1. размерность подпространства L решений однородной системы равна n – r, где n — число неизвестных, r = RgA:dimL= n – r; 2. система — базис в подпространстве L решений однородной системы ; 3. выражение — общее решение однородной системы. Определение. Система , состоящая из n-r линейно независимых решений однородной системы , , RgA=r, называется фундаментальной системой решений однородной системы. Выше мы доказали следующие утверждения. Утверждение. Фундаментальная система решенийоднородной системы — базис пространства решений однородной системы. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде линейной комбинации решений фундаментальной системы: . Пример 1. Исследуем однородную систему линейных алгебраических уравнений Исследовать однородную систему — ответить на вопрос является ли система нетривиально совместной, и если является, то найти ее общее решение. Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса): Ранг матрицы системы равен r = 2, число неизвестных n =4, r < n — система нетривиально совместна. Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают. Продолжим преобразование матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса): . Запишем эквивалентную систему уравнений: Главный минор матрицы этой системы — . Следовательно, переменные — базисные переменные, а — свободные. Перенесем свободные переменные вправо: Получили выражение базисных переменных через свободные. Такое выражение — общее решение однородной системы, записанное «на языке систем». Найдем базис в подпространстве решений системы (фундаментальную систему). Для этого положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные: Тогда вектор — решение однородной системы.
Затем положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные: Тогда вектор — решение однородной системы. Векторы — линейно независимые решения однородной системы размерность пространства решений которой d = n – r = 4 – 2 = 2, т.е. — базис пространства решений. Запишем общее решение системы: . Проверим: Верно. Ответ: Общее решение системы , — произвольные постоянные. Базис в пространстве решений системы — , . Структура общего решения неоднородной системы Вспомним одно из свойств решений линейной неоднородной системы: Если и — два решения системы , то вектор — решение приведенной однородной системы . Поскольку выражение задает все решения однородной системы, то для любых двух решений и неоднородной системы справедливо и, следовательно, выражение позволяет вычислить любое решение неоднородной системы. Таким образом доказана теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде где — произвольные константы, а — фундаментальная система решений приведенной однородной системы, — некоторое известное (частное) решение неоднородной системы. Пример 2. Исследуем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Исследовать неоднородную систему — ответить на вопрос является ли система совместной, и если является, то найти ее общее решение. Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса): Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен двум: RgAp =RgA = r = 2, система совместна. Число неизвестных n =4, r < n — приведенная однородная система нетривиально совместна. Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают. Продолжим преобразование расширенной матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса): . Запишем эквивалентную систему уравнений: Как и в примере 1, переменные — базисные переменные, а — свободные. Перенесем свободные переменные вправо: Получили выражение базисных переменных через свободные переменные. Такое выражение — общее решение неоднородной системы, записанное «на языке систем». Найдем частное решение неоднородной системы. Для этого положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные: и тогда вектор — частное решение неоднородной системы. Приведенная однородная система — система из примера 1. Воспользуемся решением предыдущего примера: , — фундаментальная система приведенной однородной системы, — общее решение приведенной однородной системы. Тогда Проверим:
Верно. Ответ: Система совместна, ее общее решение Вычисление обратной матрицы методом Гаусса-Жордана Пусть A — обратимая квадратная матрица. Обозначим — j- й столбец обратной матрицы. Тогда, поскольку A∙A -1= E, то, очевидно, справедливо: т.е. — матрица-столбец, все элементы которой, кроме j -го равны нулю, а элемент, расположенный в j -й строке равен единице. Эти n систем можно решать методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку у всех у них одна и та же матрица.Запишем матрицу, содержащую в первых n столбцах матрицу системы, а в последних n столбцах — единичную матрицу, и выполним Гауссово исключение так, чтобы получилось:
Матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная матрица. Действительно, в (n +1)-м столбце — решение системы , т.е. первый столбец обратной матрицы, в (n +2)-м столбце — решение системы , т.е. второй столбец обратной матрицы, и т.д., в (n + n)-м столбце — решение системы , т.е. n- й столбец обратной матрицы. Пример 3. Найдем методом Гаусса-Жордана матрицу, обратную к матрице . Решение Т.е. . Проверим. Верно. Ответ: .
|