Метрологическое обеспечение экспериментальных данных. Результаты измерений можно представить в следующем виде

Результаты измерений можно представить в следующем виде

, (5.1)

где ∆x – погрешность измерений.

Точно определить величину погрешности невозможно, так как она носит случайный характер. Иначе можно было бы найденную погрешность ввести в результат измерения и получить истинное значение x_ист. Задачей математической статистики является наилучшая оценка результата x_ист и нахождение пределов интервала (5.1) по результатам измерений.

Если проведено n измерений величины x, то среднее арифметическое значение принимается за лучшую оценку истинного результата измерений

(5.2)

где x_i – результат i-го измерения.

Средняя квадратичная погрешность определяется по формуле

(5.3)

где n – число измерений.

Важно знать, насколько может отличаться от истинного значения x среднее арифметическое, полученное по формуле (5.2) для n повторных равноточных измерений. Из теории видно, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического S равна средней квадратичной погрешности каждого результата измерений S_n, деленного на корень из числа измерений n

(5.4)

Вероятность того, что результат измерений отличается от истинного на величину, не большую, чем ∆x обозначим через α. Вероятность α называется доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины от -∆x до +∆x называется доверительным интервалом.

Определим доверительный интервал. Чем большим он будет установлен, тем более вероятно, что x_ист окажется в этом интервале. Но широкий интервал дает меньшее представление относительно величины x_ист. При учете только случайных погрешностей и при небольшом числе измерений n для уровня доверительной вероятности α полуширина доверительного интервала равна

, (5.5)

где tα,n – коэффициент Стьюдента (таблица 5.1).

Таблица 5.1 – Коэффициент Стьюдента

Для окончательной установки границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом систематической погрешности ∆x_сист. Систематическая погрешность, как правило, указана в паспорте или на шкале прибора, а в некоторых случаях может быть принята равной половине цены деления младшего разряда шкалы. Суммарная погрешность (абсолютная) определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей

(5.6)

Относительная погрешность определяется как

(5.7)

Выражение (5.6) позволяет оценить величину погрешности по отношению к самой измеряемой величине, измеряется в процентах.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций.

1 Вычисляется среднее значение из n измерений по формуле 5.2.

2 По формуле 5.3 определяется среднеквадратичная погрешность среднего арифметического значения.

3 Задается доверительная вероятность α и определяется коэффициент Стьюдента t_α,n для заданного α и числа произведенных измерений n по

таблице 5.1.

4 По формуле 5.5 находится полуширина доверительного интервала (абсолютная погрешность результата измерений).

5 Оценивается относительная погрешность результата измерений по формуле 5.7.

6 Окончательный результат записывается в виде

. (5.8)