Нечеткие множества и нечеткие переменные

Лекция №10

Системы с нечеткой логикой.

При анализе ситуации человек часто оперирует не числами, а словами, т.е. такие понятия, как прибыль, эффективность, затраты и проч. выражается не в количественной, а в качественной форме. Следовательно, интеллектуальная модель должна «уметь» оперировать с такими понятиями,, например, как «высокая прибыль» (вместо «прибыль составила 33%»), «молодой человек» (вместо «возраст 23 года») и т.п.

Нечеткие множества и нечеткие переменные.

Переменные, задаваемые не числами, а словами, были описаны Л. Заде. Он назвал их лингвистическими переменными. Лингвистические переменные описывают неточное (нечеткое) отражение человеком окружающего мира. Для того чтобы лингвистические переменные стали полноправными математическими объектами, потребовалось расширить одно из базовых понятий математики - понятие множества. Для этого было введено определение нечеткого множества и разработана теория нечетких множеств, включившая в себя обычные множества как частный случай.

В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции. Характеристическая функция множества A Î Х - это функция m_A(х), значения которой указывают, является ли x Î Х элементом множества A:

(10.1)

С точки зрения характеристической функции, нечеткие множества являются естественным обобщением обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения из отрезка [0, 1].

Рис. 10.1. Графическое представление характеристических функций классического и нечеткого множества

В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение m_A (х), - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A. Более строго, нечетким множеством A называется совокупность пар

(10.2)

где Х- универсальное множество, а m_A (х) - функция принадлежности.

Пусть, например, Х = { a, b, c, d, e }, A = {(a; 0), (b; 0,1), (c; 0,5), (d; 0,9), (e;1)}. Это означает, что элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом A.

Для примера: пусть задана некоторая физическая величина, например, температура воды, которая измеряется соответствующим датчиком. Будем ассоциировать с подмножеством A диапазон изменения температуры 0°С до 50°, а с подмножеством B ее изменение в диапазоне от 50С° до 100°С. В лингвистической интерпретации принадлежность измеренной температуры подмножеству A будет соответствовать нечеткой (лингвистической) переменной “холодная вода”, а подмножеству B – “горячая вода”. Аналогичная интерпретация может быть дана и для других физических величин: давление –“низкое” (подмножество A) или “высокое” (подмножество B), линейная скорость перемещения “маленькая” (подмножество A) или “большая” (подмножество B) и т.д. Если использовать кодирование символами 0 и 1 для упомянутых выше лингвистических переменных, то получим соответствие: “холодная” - 0, “горячая ”-1, “маленькая” – 0, “большая” –1 и т.д. В этой интерпретации не представляется возможным отразить промежуточные состояния температуры воды типа: “прохладная” вода, «теплая» вода, т.к. переменная принадлежности тому или иному подмножеству принимает только два значения 0 или 1, что подразумевает наличие четкой или резкой границы между подмножествами.

При задании параметра «температура воды» в виде нечеткой переменной будем предполагать, что температура в 15°С и ее окрестности являются «холодной» водой, температура в 85°С и ее окрестности ассоциируются с «горячей» водой (рис. 10.2 а,б).

Рис. 10.2. Количественное представление нечетких переменных «холодная», «горячая» вода.

Тогда нечетким лингвистическим переменным «холодная», «горячая» можно дать количественную форму с использованием функций принадлежностей. Температура в 50°С частично с весом 0.5 является «холодной» и с весом 0.5 «горячей» (рис. 10.2 в). Отметим, что имеет место условие нормировки:

m_A (x)+ m_В (x)=1.

Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

(10.3)

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):

(10.4)

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Рис. 10.3. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой

(10.5)

и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр s отвечает за крутизну функции.

Рис.10.4. Гауссова функция принадлежности.

На рис. 10.5 приведен пример - формализация неточного понятия "Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0,47, "Выше среднего" – 0,20.

Рис. 10.5. Описание лингвистической переменной "Возраст".

Функция принадлежности может быть задана в виде дискретных значений, например, в виде таблицы:

Функция принадлежности нечеткого множества «Молодой человек»: