Список экзаменационных вопросов

1. Предел числовой последовательности. Критерий Коши существования предела числовой последовательности. Свойства пределов числовых последовательностей. Верхний и нижний пределы последовательностей, критерий сходимости в терминах верхних и нижних пределов.

2. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Признаки сходимости Даламбера, Коши и сравнения для положительных рядов, признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

3. Предел функции одной переменной в точке. Непрерывность функции одной переменной в точке. Непрерывность функции одной переменной на отрезке и на интервале. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях: теоремы Больцано - Коши, Вейерштрасса, Кантора.

4. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

5. Непрерывность и дифференцируемость функции многих переменных в точке и в области. Частные производные. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью частных производных.

6. Производные функции по направлению, градиент. Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной и многих переменных.

7. Формула Тейлора для функций одной и многих переменных.

8. Неявные функции, теорема о неявной функции. Производные неявной функции.

9. Определенный интеграл Римана, суммы Дарбу, критерии интегрируемости. Простейшие свойства интеграла Римана. Формула Ньютона - Лейбница. Несобственные интегралы, критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сходимости: признак сравнения, признаки Абеля и Дирихле. Интегрирование в многомерных пространствах. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формулы Грина, Стокса.

10. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Аналитические функции. Условие Коши - Римана. Элементарные функции комплексного переменного и их производные. Интеграл по кривой от аналитической функции, теорема Коши, интегральная формула Коши, разложение в степенной ряд аналитических функций. Степенные ряды элементарных функций комплексного переменного.

11. Ряды Лорана, классификация изолированных особых точек. Вычеты и основная теорема о вычетах. Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов.

12. Теорема Руше. Доказательство основной теоремы алгебры.

13. Метрические пространства. Компактные и предкомпактные множества в метрических пространствах. Критерии Хаусдорфа и Гейне - Бореля компактности множества.

14. Принцип сжатых отображений и его связь с итеративными методами решения уравнений.

15. Линейные нормированные пространства. Линейные функционалы и операторы в ЛНП. Норма линейного непрерывного оператора и теорема Банаха о продолжении линейного непрерывного функционала с сохранением нормы.

16. Гильбертово пространства. Теорема о проекциях и общий вид линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве.

17. Ряды Фурье в функциональных гильбертовых пространствах. Сходимость в среднем. Условия сходимости в точке и равномерная сходимость.

18. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Задача Коши для ОДУ. Теорема существования и единственности задачи Коши.

19. Общее решение линейного однородного уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение линейного неоднородного уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами.

20. Фазовый портрет системы линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

21. Классификации уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными.

22. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Постановка основных задач, их физическая интерпретация. Существование и единственность решения задача Коши для уравнения колебаний неограниченной струны.

23. Задача о колебаниях струны с закрепленными концами. Построение ее решения методом Фурье.

24. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Вывод формулы Пуассона.

25. Матрица и действия с матрицами. Обратная матрица и методы ее вычисления.

26. Определитель матрицы, его свойства.

27. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Методы решения СЛАУ.

28. Ранг матрицы и методы вычисления ранга матрицы. Фундаментальная система решений однородных СЛАУ. Общее решение однородной СЛАУ.

29. Многочлены. Корни многочленов. Алгоритм Евклида. Теорема Безу. Приводимые и неприводимые многочлены.

30. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

31. Кривые второго порядка. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

32. Определение пространственной кривой и ее длины. Кривизна и кручение кривой, формулы Френе.

33. Поверхность в пространстве. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая и вторая квадратичная форма. Кривизна поверхности.

34. Конечномерные линейные пространства. Размерность линейного пространства. Базис в линейном пространстве. Евклидово пространство. Скалярное произведение и норма в евклидовом пространстве.

35. Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах и их матрицы. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные вектора и собственные числа линейных операторов. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

36. Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы и пересечения подпространств.

37. Билинейные и квадратичные формы. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий

38. Сильвестра. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

39. Вероятность и ее свойства. Примеры вероятностных пространств. Условная вероятность, независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

40. Случайные величины. Функция распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Биномиальное, пуассоновское, равномерное и нормальное распределения случайных величин.

41. Выпуклые множества и экстремальные свойства выпуклых функций.

42. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.

43. Постановка задач вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

44. Разностные методы для уравнений параболического типа.

45. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Теорема о степени точности.

46. Итерационные методы решения СЛАУ. Фундаментальная теорема Самарского о достаточных условиях сходимости и ее применения.

47. Бинарное отношения типа эквивалентности. Классы эквивалентности и их свойства. Отношение типа эквивалентности как разбиение множества.

48. Полные системы булевых функций. Теорема Поста.

Литература

[1] Л.Д.Кудрявцев: Курс математического анализа. В 3-х томах, - М.: Дрофа, 2003-2006. [2] Л.Д.Кудрявцев и др.: Сборник задач по математическому анализу. В 3-х томах, - М.: Физматлит, 2003. [3] Г.М.Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах, - М.: Физматлит, 2001. [4] Б.П.Демидович: Сборник задач и упражнений по математическому анализу, - М.: ACT Астрель, 2010. [5] И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий: Задачи и упражнения по математическому анализу (в 2-х частях), - М.: Дрофа, 2001. [6] А.Г.Курош: Курс высшей алгебры, - СПб.: Лань, 2008. [7] А.И.Кострикин: Введение в алгебру, в 3 частях, - М.: Изд-во МЦНМО, 2009. [8] А.И.Кострикин и др.: Сборник задач по алгебре, - М.: Изд-во МЦНМО,2009. [9] В.А.Ильин, Э.Г.Позняк: Аналитическая геометрия, - М.: ФизМатЛит,2012. [10] Р.А.Шарипов: Курс аналитической геометрии, - Уфа: РИЦ БашГУ,2010. [11] Л.А.Беклемишева, А.Ю.Петрович, И.А.Чубаров: Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, - М.: ФизМатЛит,2008. [12] И.М.Гельфанд: Лекции по линейной алгебре, - М.: Добросвет, 2009. [13] Р.А.Шарипов: Курс линейной алгебры и многомерной геометрии, - Уфа: РИЦ БашГУ, 1996. http://www.freetextbooks.narod.ru/r4-b2.htm 67[14] Э.Г.Позняк, Е.В.Шикин: Дифференциальная геометрия, - М.: Эдиториал УРСС, 2003. [15] Р.А.Шарипов: Курс дифференциальной геометрии, - Уфа: РИЦ БашГУ, 1997. http://www.freetextbooks.narod.ru/r4-b3.htm [16] А.С.Феденко и др.: Сборник задач по дифференциальной геометрии,М.: Наука, 1979. [17] Р.С.Юлмухаметов, В.И.Луценко, Н.Ф.Абузярова, И.С.Галимов: Теория множеств, - Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. [18] Р.С.Юлмухаметов, К.П.Исаев, К.В.Трунов, А.А.Путинцева: Теория алгоритмов, - Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. [19] Р.С.Юлмухаметов, Н.Ф.Абузярова, К.В.Трунов, А.А.Путинцева: Математическая логика, - Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. [20] В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения, - М.: Наука, 2010. [21] А.Ф.Филиппов: Введение в теорию дифференциальных уравнений, -М.: Едиториал УРСС, 2011. [22] А.Ф.Филиппов: Сборник задач по дифферен-м уравнениям, -М., Ижевск: Изд-во РХД, 2010. [23] М.Г.Юмагулов: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения, - М., Ижевск: Изд-во РХД, 2008. [24] Я.Т.Султанаев, О.Г.Гайдамак: Обыкновенные дифференциальные уравнения, - Уфа: РИЦ БашГУ, 2007. [25] А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин: Элементы теории функций и функционального анализа, - М.: Физматлит, 2009. [26] Г.И.Просветов: Функциональный анализ. Задачи и решения, - М.:Альфа-Пресс, 2010. [27] М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат: Методы теории функций комплексногопеременного, - СПб.: Лань, 2002. [28] А.И.Маркушевич: Теория аналитических функций. В 2-х томах, -СПб.: Лань, 2009. [29] Б.В.Шабат: Введение в комплексный анализ. В 2 частях, - СПб.:Лань, 2004. 68[30] А.Н.Тихонов, А.А.Самарский: Уравнения математической физики, -М.: Изд-во МГУ, 2009. [31] В.С.Владимиров, В.П.Михайлов, А.А.Вашарин, Х.Х.Каримова,Ю.В.Сидоров, М.Н.Шабунин: Сборник задач по уравнениям математической физики, - М.: Физматлит, 2003. [32] В.С.Владимиров, В.В.Жаринов: Уравнения математической физики,- М.: Физматлит, 2004. [33] А.В.Жибер, Г.З.Мухаметова, Н.А.Сидельникова: Дифференциальные уравнения математической физики и методы их решения, - Уфа: РИЦ БашГУ, 2010. [34] Б.В.Гнеденко: Курс теории вероятностей, - М.: Либроком, 2011. [35] В.Е.Гмурман: Теория вероятностей и математическая статистика, - М.: Юрайт, 2012. [36] А.М.Зубков, Б.А.Севастьянов, В.П.Чистяков: Сборник задач по теории вероятностей, - СПб.: Лань, 2009. [37] В.Е.Гмурман: Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, - М.: Юрайт, 2010. [38] Э.М.Галеев: Оптимизация. Теория, примеры, задачи, - М.: КомКнига, 2006, Либроком, 2010, [39] А.Г.Сухарев, А.В.Тимохов, В.В.Федоров: Курс методов оптимизации, - М.: ФизМатЛит, 2005, [40] Ф.П.Васильев: Численные методы решения экстремальных задач, М.: Наука, 1988. [41] В.Г.Карманов: Математическое программирование, - М.: ФизМат-Лит, 2004, 2008, 2011. [42] А.А.Самарский, А.В.Гулин: Численные методы, - М.: Наука, 1989. [43] Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков: Численные методы, - М.:Бином, 2003. [44] Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Б.В.Чижонков: Численные методы в задачах и упражнениях, - М.: Высшая школа, 2000.