Вариационное исчисление и методы оптимизации

1. Элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа;

2. задачи линейного программирования и проблемы экономики; теоре­ ма двойственности; классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго порядка Лежандра и Якоби;

3. задачи классического вариационного исчисления с ограничениями; необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со старшими производными; классическое вариационное исчисление и естествознание;

4. оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина; оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного программирования; симплекс-метод; методы решения задач без ограничения; градиентные методы; метод Ньютона; методы сопряженных направлений;

5. численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.

Рекомендуемая литература: см. [38] - [41].

Методы вычислений

1. Введение в численные методы; постановка задачи интерполяции;

2. дискретное преобразование Фурье; наилучшее приближение в нормированном пространстве; существование элемента наилучшего приближения

3. процесс ортогонализации Шмидта; рекуррентная формула для вычисления ортогональных многочленов; сплайны

4. квадратурные формулы Ньютона-Котеса, Гаусса, составные квадратурные формулы.

5. численное дифференцирование.

6. основные задачи линейной алгебры, метод Гаусса; метод простой итерации, теорема о достаточном условии сходимости, необходимое и достаточное условие сходимости; метод простой итерации для симметричных положительно определенных матриц, оптимизация параметра процесса; процесс ускорения сходимости итераций; метод наискорейшего градиентного спуска; метод Зейделя; методы решения нелинейных уравнений (метод бисекций, метод простой итерации и метод Ньютона); метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ, метод Эйлера и его модификации,

7. методы Рунге-Кутта; конечно-разностные методы, понятие об аппроксимации, исследование свойств конечно-разностных схем на модельных примерах;

8. основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость; аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи для ОДУ второго порядка; методы решения системы ЛАУ с трехдиагональной матрицей (метод стрельбы и метод прогонки); метод конечных элементов; простейшие разностные схемы для уравнения переноса, спектральный признак устойчивости, разностные схемы для уравнения теплопроводности, явная и неявная схемы, схема с весами, устойчивость и аппроксимация схемы с весами, схема со вторым порядком аппроксимации; разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике, ее корректность; методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона (метод Гаусса, метод разложения в дискретный ряд Фурье, метод простой итерации);

9. численные методы решения интегральных уравнений второго рода; метод регуляризации решения интегральных уравнений первого рода.

Рекомендуемая литература: см. [42] - [44].