Теоретические сведения к практической работе

Метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

(1)

удовлетворяющее начальному условию у(х₀) = у₀.

При численном решении дифференциального уравнения (1) задача ставится следующим образом: в точках х₀, х₀, х₁, х₂,...., х_п найти приближения для значений точного решения у(х_к)

Разность называется шагом сетки. Во многих случаях величину принимают постоянной. Пусть = h, тогда

x_k = x₀ +kh где (2)

, где (3)

Приближенное значение у_к в точке x_k = x₀ +kh вычисляется по формуле:

- формула Эйлера (4)

Пример 1: Методом Эйлера найти значения решения уравнения , для которого у(1) = 1, в пяти точках отрезка [ 1; 1,5 ], приняв h = 0,1

Решение. По формуле (2) находим точки х₀ = 1, х₁ = 1,1, х₂ = 1,2, х₃ = 1,3, х₄ = 1,4, х₅ = 1,5. Значения искомой функции у = у(х), удовлетворяющей условиям данной задачи Коши, вычисляем по формуле (4). Результаты вычислений занесем в таблицу.

Метод Рунге – Кутта. (Один из наиболее употребляемых методов повышенной точности).

Пусть функция у определяется дифференциальным уравнением с начальным условием у(х₀) = у₀. При численном интегрировании такого уравнения по методу Рунге – Кутта определяются четыре числа:

(5)

Если положить , то можно доказать, что

.

Получаем следующую схему вычислений:

x	Y	ki	Δy
x0	y0	k1
		k2
		k3
x0 + h	y0 + k3	k4
x1	y1 = y0 + Δy0	k1
		k2
		k3
x1 + h	y1 + k3	k4
x2	y2 = y1 + Δy1	k1
		k2
		k3
x2 + h	y2 + k3	k4
..............	.............	..............	...............

Пример 2:

Составь таблицу значений функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, 0 ≤ х ≤ 1 при h = 0,2.

Решение.

Используя формулы (5) найдем числа:

Отсюда

Таким образом у₁ = 1 + 0,1832 = 1,1832 при х = 0,2. По этой же схеме находим у₂ и т.д. процесс вычисления ведем по схеме:

x	Y	ki	Δy
x0 = 0	y0 =1	k1 = 0,2	= 0,1832
= 0,1	=1,1	k2 = 0,1838
=0,1	1,0918	k3 = 0,1817
x0 + h = 0,2	y0 + k3 = 1,1817	k4 = 0,1686
x1 = 0,2	y1 = y0 + Δy0 = 1,1832	k1 = 0,1690	= 1,1584
= 0,3	= 1,2677	k2 = 0,1589
= 0,3	= 1,2626	k3 = 0,1575
x1 + h = 0,4	y1 + k3 = 1,3407	k4 = 0,1488
x2	y2 = y1 + Δy1	k1
..............	.............	..............	...............

Содержание практической работы

 

1. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,22	1,36	1,52

Ответ:

 

2. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [1; 2], при начальном условии у(1) = 0, принимая h = 0,1. В первых пяти точках.

Ответ:

Х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
У	-0,1158	-0,1501	-0,1925	-0,2397	-0,2944

 

3. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с тремя верными знаками.

Ответ:

Х	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
У	-1	-0,975	-0,949	-0,921	-0,888	-0,842	-0,802	-0,744	-0,675	-0,593	-0,495

 

 

Рекомендуемая литература

Основные источники

1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.:Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2010

4. Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012