Теоретические сведения к практической работе. Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции f(x)

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции f(x). Если можно найти первообразную F(x) функции f(x), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница. Но не всегда первообразная функции выражается через элементарные функции. В этих и других случаях используют приближенные формулы, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Наиболее употребляемая формула – формула прямоугольников.

Метод прямоугольников.

Пусть на отрезке [a; b], где a < b, задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции на п равных частей длины . тогда x_i = x₀+hi. В середине каждого такого отрезка построим ординату графика функции у = f(x). Приняв эту ординату за высоту построим прямоугольник с площадью

. Тогда сумма площадей всех п прямоугольников (при достаточно большом п) дает площадь приближенно равную площади трапеции, т.е.

т.е.

- формула прямоугольников (1)

Абсолютная погрешность метода определяется неравенством:

(2)

где (3)

Пример 1: Вычислить интеграл при п = 4, используя метод прямоугольников.

Решение.

=

=

т.к. и :

 

где

, ,

Следовательно:

Пример 2: Зная, что погрешность метода прямоугольников при вычислении интеграла составляет 0,125, определить число разбиений п.

Решение. Используя формулу (2) получим

Умножим правую и левую части неравенства на дробь , тогда .

т.е или

 

Содержание практической работы

По формуле прямоугольников вычислить , разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

(Ответ: )

 

Практическая работа №22