Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения МКТ предполагалось, что на молекулы не действуют внешние силы, и поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Но молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул и давление газа убывают с высотой.

Если температура воздуха и ускорение свободного падения не меняются с высотой, то давление воздуха на высоте , отсчитанной от некоторого уровня, принятого за начальный, связано с давлением на этом начальном уровне экспоненциальной зависимостью:

. (16)

Выражение (16) называется барометрической формулой. Оно позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Из формулы (16) сле­дует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше его молярная масса ) и чем ниже температура .

Барометрическую формулу (16) можно преобразовать, воспользовавшись выражением (8):

,

Где – концентрация молекул на высоте , – концентрация молекул на высоте . Так как и , то

,

где - потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения, и

. (17)

Выражение (17) называют распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Из формулы (17) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при . При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, напротив, слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно.

Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) притяжение молекул к Земле (характеризуемое силой ) стремится расположить их на поверхности Земли; 2) тепловое движение (характеризуемое величиной ) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам. Чем больше и меньше , тем сильнее преобладает первая тенденция, и молекулы сгущаются у поверхности Земли. В пределе при тепловое движение совсем прекращается, и под влиянием силы притяжения молекулы располагаются на земной поверхности. При высоких температурах превалирует тепловое движение, и плотность молекул медленно убывает с высотой.