Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Приведение уравнения квадрики к простейшему видуТеорема 5.3 Для любого уравнения квадрики найдется аффинная замена системы координат, приводящую квадрику к виду . Доказательство. По теореме Лагранжа существует невырожденная матрица T, приводящая матрицу А к нормальному виду, т.е. - диагональная матрица, по главной диагонали которой расположено s (A) единиц и rgA-s (A) минус единиц. После замены координат x=Ty получим уравнение квадрики . Преобразуем уравнение , где . Положим . В новой системе координат уравнение квадрики имеет вид . Если , где , то , и теорема в этом случае доказана. Пусть найдется i, при котором выполняется неравенство . Если i =1+ rgA, то сделаем аффинную замену координат , а если i >1+ rgA, то замену . В результате получим уравнение квадрики , что и требовалось доказать. Если уравнение квадрики умножить на не нулевое число, то множество решений уравнения не изменится. Два уравнения квадрики называются аффинно-эквивалентными, если от одного к другому можно перейти в результате аффинного преобразования или умножения уравнения на произвольное ненулевое число. Теорема 5.4 Уравнение квадрики аффинно эквивалентно одному из следующих уравнений , причем . Если , то правая часть не может равняться -1. Все эти уравнения аффинно не эквивалентны между собой. Доказательство. Аффинной заменой координат любое уравнение приводится к виду . Если , то умножим уравнение на -1. Аналогично, если и , то умножим уравнение на -1. Если , то умножим уравнение на . В результате этих преобразований получим уравнение вида , где и . Причем, если , то правая часть уравнения не может равняться -1. Сделаем замену координат и получим одно из уравнений квадрики, приведенных в условии теоремы. Рассмотрим матрицы для уравнений квадрик, приведенных в условии теоремы. Для квадрики , где , расширенная матрица , а для квадрики расширенная матрица . Приведем таблицу аффинных инвариантов (Следствие 5.2).
Поскольку все наборы инвариантов различны, то теорема доказана.
|