Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод выделения квадратов (Лагранжа)Базис называется каноническим для симметричной (эрмитовой) билинейной функции, если ее матрица в этом базисе диагональная. Теорема 4.3 Лагранжа. Для любой эрмитовой функции существует канонический базис. Доказательство проведём индукцией по рангу r матрицы эрмитовой формы F. Если r =0, то матрица нулевая, утверждение очевидно. Допустим, что теорема верна для r -1. Докажем ее истинность для r. Рассмотрим три случая а) , тогда положим и , где k >1. В данном случае матрица перехода S будет отличаться от единичной матрицы только первой строкой, равной и S [ x ]=[ x ’], Q [ x ’]=[ x ], где . Матрица Q отличается от единичной матрицы только первой строкой, равной (1, ,…, ). После замены координат, получим матрицу билинейной формы , которая имеет следующий блочный вид . Поскольку ранг равен r -1, то по предположению индукции эрмитову матрицу можно привести к каноническому виду. Пусть . Тогда и теорема в этом случае доказана. б) и существует k, что переставим первый и k базисные вектора, и далее перейдем к пункту а). в) для всех k и найдётся не нулевой элемент , где . Возможны два случая:
Базис эрмитовой билинейной функции f (x,y) называется нормальным, если матрица билинейной функции в этом базисе имеет диагональный вид, и ее главная диагональ равна (1,..,1,-1,..,-1,0..,0). Для отыскания матрицы перехода можно поступать следующим образом. Припишем к матрице F единичную матрицу справа. Затем будем производить элементарные преобразования со строками расширенной матрицы и столбцами матрицы F. Причем, если к строке k прибавим строку j, умноженную на число , то затем к столбцу k прибавим столбец j, умноженный на число . После приведения матрицы F к диагональному виду справа будет расположена матрица, все элементы которой комплексно сопряжены к матрице перехода. Следствие 4.5 Для эрмитовой формы существует нормальный базис если поле R или C. Доказательство. Построим канонический базис. Далее, если , то умножим j базисный вектор на число . Затем перестановкой базисных векторов приведем матрицу к нормальному виду. Следствие 4.6 Если все угловые миноры матрицы F отличны от нуля, то существует верхняя треугольная матрица Q, которая приводит F к диагональному виду. Доказательство проведем индукцией по рангу F. По теореме Лагранжа существует матрица Q, приводящая F к диагональному виду. Докажем, что она верхняя треугольная матрица. Обозначим через угловой минор j -го порядка матрицы F. Так как , то выполняется пункт а) теоремы Лагранжа. Матрица перехода Q верхняя треугольная. Угловой минор матрицы порядка k- 1, умноженный на , равен (угловому минору порядка k матрицы F). По предположению индукции, найдется верхняя треугольная матрица Q’, приводящая матрицу к диагональному виду. Но тогда - верхняя треугольная матрица, а - диагональная матрица.
|