Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы

Пусть V – линейное пространство над полем комплексных чисел C. Функция, ставящая в соответствие паре векторов комплексное число, и обладающая свойствами линейности по первому аргументами и «почти линейностью» по второму, называется полуторалинейной формой. Точнее, функция называется полуторалинейной, если

1. ,
2. ,

где , .

Примером полуторалинейной функции является скалярное произведение в унитарном пространстве.

Теорема 4.2. Полуторалинейная форма полностью определяется своими значениями на базисных векторах.

Доказательство. Пусть - базис V. Разложим векторы b и c по базису , . Тогда . Теорема доказана.

Обозначим через столбец, составленный из координат вектора b, а через – матрицу, на пересечении i -ой строки и j -го столбца которой расположено значение полуторалинейной формы от базисных векторов . Легко убедиться в равенстве , где черта обозначает знак комплексного сопряжения. Матрица называется матрицей полуторалинейной формы f в базисе .

Следствие 4.3 Полуторалинейная форма полностью определяется своей матрицей.

Полуторалинейная форма называется эрмитовой, если ее значение меняется от перестановки аргументов на комплексно сопряженное, то есть .

Следствие 4.4 Полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда найдется базис e, в котором ее матрица удовлетворяет равенству .

Для эрмитовых форм определен аналог квадратичной формы .

Значение квадратичной эрмитовой формы – всегда вещественное число, так как .