Метод начальных параметров при расчете балки наизгиб

В качестве исходного уравнения метода начальных параметров принимаетсядифференциальное уравнение4-го порядка:

(1.1)

где EI – жесткость балки, – прогиб, q – нагрузка.

Это уравнение устанавливает зависимость между погибом балки v и внешнейнагрузкой q. В данном случае, возможно найти изогнутую ось балки непосредственно повиду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному ее статистическому расчету и несоставляя выражения изгибающего момента по участкам. Решение уравнения (1.1) приметвид:

(x), (1.2) где , - произвольные постоянные интегрирования.

Поскольку 3! = 6 и 2! = 2, получим:

(1.3)

При этом - частное решение неоднородного уравнения (1.1) - вычисляется по формуле:

. (1.4)

Сущность метода начальных параметров состоит в том, что произвольным постоянным интегрирования , , , придан физический смысл, заключающийся в том, что:

- прогиб в начале координат (х=0) есть постоянная , уменьшенная в EI раз:

- угол наклона оси балки в начале координат есть постоянная , уменьшенная в EI раз: ;

- изгибающиймомент в начале координат есть постоянная с противоположным знаком: ;

- перерезывающая сила в начале координат есть постоянная с противоположнымзнаком: .

В связи с этим введем обозначения:

Получим выражение для определения прогиба в любой точке изогнутой балки:

(1.5)

Начало координат выбрано на левом конце балки, что обычно имеет место при проведении практических расчетов. Следовательно, указанные величины представляют прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу на левом конце балки. Последнее слагаемое в формуле (1.5) соответствует внешней нагрузке, приложенной к балке, и вычисляется в зависимости от вида нагрузки согласно теории сопротивления материалов.

Подставляя соответствующее приложенной нагрузке выражение приходим к уравнению, определяющему прогиб в любой точке оси балки с точностью до четырех начальных параметров.

Для нахождения прогиба балки необходимо найти все четыре неизвестные постоянные . Два из четырех параметров определяются сразу же изграничных условий, поставленных на левом конце балки. Для двух других начальныхпараметров необходимо сформулировать два граничных условия на другом ее конце.После определения всех четырех неизвестных постоянных, полностью найдем прогиббалки.

Первая производная по x выражения (1.5) позволяет получить выражение для углаповорота оси балки. Для вычисления изгибающего момента и перерезывающей силыиспользуются известные соотношения сопротивления материалов:

(1.6)

Т.е., для вычисления характеристик балки нужно продифференцировать выражение (1.5) для прогиба по x до третьей производной.