Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

Напомним, что матрица называется обратной к , если . Обратные матрицы существуют лишь для невырожденных матриц, т.е. . Было показано, что , где – присоединенная матрица, полученная из алгебраических дополнений, т. е. вычислением определителей -ого порядка. Вместе с тем, операция вычисления определителя, запрограммированная в ЭВМ, требует больших машинных ресурсов. Поэтому более предпочтительным выглядит вычисление обратной матрицы с помощью метода Гаусса.

Для этого воспользуемся определением обратной матрицы

…

.

Таким образом, матричное уравнение эквивалентно системе линейных уравнений, состоящей из систем, каждая из которых является системой из переменных и все они имеют одну и ту же основную матрицу системы:

; ; …;

Все эти системы объединим в одной расширенной матрице:

.

Приведение этой матрицы к ступенчатому виду должно обозначать приведение к ступенчатому виду всех расширенных матриц подсистем. Так как она может быть приведена к следующему виду:

.

Решение каждой из подсистем имеет вид:

, , …,

матрица , стоящая за вертикальной чертой, является обратной матрицей .