Пример 5.2

~ ~ ~ .

Теорема Крамера 5.1

Линейная система (4.2) с квадратной матрицей имеет решение, притом единственное, тогда и только тогда, когда .

Доказательство

Пусть система (4.2) имеет и притом единственное решение. Допустим, что . Это значит, что единственный минор -го порядка в основной матрице (который является ее определителем), равен нулю, и потому (т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных). Но согласно следствию (2) теоремы (4.1) в этом случае система имеет бесконечное множество решений, что противоречит условию. Значит допущенное неверно, и потому .

Пусть . Тогда , а так как , то и . Но по теореме (4.1) это означает, что СЛУ (4.2) имеет решение, а так как ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных, то в силу следствия (1) теоремы (4.1) это решение единственное.