Теорема про зміну та збереження моменту імпульсу механічної системи

Вектор імпульсу (кількості руху) матеріальної системи характеризує її поступальний рух. Обертальний рух матеріальної системи характеризується іншим вектором - моментом імпульсу (кінетичним моментом). Для окремої матеріальної точки масою момент імпульсу відносно довільної точки простору визначається виразом

, (1)

де - радіус-вектор проведений з точки до матеріальної точки, - її імпульс. Вектор залежить від імпульсу та положення матеріальної точки відносно точки та характеризує її „обертальний” рух навколо точки в даний момент часу.

Векторний добуток можна обчислити за допомогою матриці

= , (2)

де , , та , , - проекції радіус-вектора та швидкості точки на відповідні вісі. Таким чином, момент імпульсу матеріальної точки може бути знайдений за формулою

= = (3)

= .

Проекції , , вектора моменту імпульсу на декартові вісі , та називають моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі.

Модуль і напрям вектора моменту імпульсу визначається за правилами
векторного добутку. На рис. 3.1, зображена площина, в якій лежать вектори та . Напрям моменту імпульсу рухомої матеріальної точки відносно точки спрямований від нас перпендикулярно до площини рисунку, а його модуль можна знайти за формулою

. (4)

тут – кут між векторами і , а – відстань від точки до лінії вздовж якої спрямована швидкість матеріальної точки .

Замість вектора моменту імпульсу матеріальної точки, часто користуються його алгебраїчним значенням, яке визначається за такими ж самими правилами, що і для визначення моменту сили відносно точки. Тоді для точки отримуємо

, (5)

а для точки (рис.1)

. (6)

Зауважимо: 1) у випадку прямолінійного рівномірного руху точки, її кінетичний момент відносно заданої точки простору залишається незмінним;

2) момент імпульсу матеріальної точки дорівнює нулю, якщо лінія вздовж якої спрямований вектор імпульсу проходить через цю точку.

Момент імпульсу механічної системи є векторною сумою моментів імпульсів (кінетичних моментів) її елементів

. (7)

Якщо тверде тіло обертається навколо фіксованої осі, то для знаходження моменту імпульсу, тіло розглядають як сукупність матеріальних точок масами , що знаходяться на незмінних відстанях від осі обертання і обертаються з однаковою для всіх точок кутовою швидкістю . Тоді момент імпульсу відносно осі обертання (дивись рис.2) можна обчислити як суму моментів імпульсу елементів тіла відносно неї

, (8)

що у випадку неперервного розподілу маси дає

, (9)

де – символ відповідної осі обертання. Сума добутків мас елементів на квадрат їхньої відстані до осі обертання чи відповідний інтеграл по об’єму тіла назив. моментом інерції тіла відносно заданої осі

. (10)

Ця фізична величина характеризує інертність тіла при обертанні навколо заданої осі, залежить від розподілу маси в тілі, положення осі обертання і вимірюється в кг·м².

Для сукупності паралельних осей обертання момент інерції твердого тіла має мінімальне значення для осі, яка проходить через центр маси твердого тіла. Тоді для будь-якої іншої, паралельної до неї, момент інерції можна визначити за теоремою Гюйгенса-Штейнера