затухающие колебания)

Рассмотренный случай свободных колебаний материальной точки является идеальным, так как в действительности при колебаниях материальных тел неизбежно возникают силы сопротивления. Это могут быть силы трения в опорах и сочленениях механизма, силы сопротивления среды (жидкой и газообразной) и т. д. Рассмотрим, как влияет на свободные колебания точки сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости.

Пусть на прямолинейно движущуюся точку массы кроме восстанавливающей силы , пропорциональной отклонению точки от положения равновесия, действует сила сопротивления , пропорциональная первой степени скорости, т. е. . Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом сопротивления. Знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону, противоположную скорости точки .

Точка с приложенными к ней силами и оси координат изображены на рис.8.

Основное уравнение динамики точки имеет вид:

.

Спроектировав его на ось , получаем дифференциальное уравнение движения точки:

,

где , . Перенося все члены в левую часть и деля их на массу , получаем:

. (2.10)

Здесь частота свободных колебаний точки в среде без сопротивления, —величина, называемая коэффициентом затухания.

Уравнение (2.10) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при сопротивлении пропорциональном первой степени скорости. Проинтегрируем его. Это—однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение и его корни и имеют вид:

;

, . (2.11)

Характер движения существенно зависит от соотношения величин и . Возможны три случая:

1) —случай малого сопротивления;

2) —случай большого сопротивления;

3) —случай критического сопротивления.

Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1. Случай малого сопротивления .

Если , то величина под знаком квадратного корня в (2.11) отрицательная. Введем обозначение:

.

Тогда корни характеристического уравнения:

, , .

Так как корни характеристического уравнения комплексные, то общее решение дифференциального уравнения (2.10) имеет вид:

, (2.12)

где и постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования находим по начальным условиям:

при , .

Вычисляем скорость точки

(2.13)

и подставляем в (2.12) и (2.13) начальные условия , , :

,

.

Отсюда постоянные интегрирования

, ,

и уравнение движения точки принимает вид

. (2.14)

Решение (2.12) можно представить в другой, амплитудной форме. Для этого вводим новые постоянные интегрирования и :

, .

Тогда уравнение (2.12) принимает вид:

, (2.15)

где и , если их выразить через начальные условия:

,

, .

Величина положительна, угол находится в пределах от до .

Наибольшие отклонения точки в ту и другую сторону от положения равновесия называются амплитудами колебаний, расстояние между двумя соседними наибольшими отклонениями точки называется размахом колебаний. Время , в течение которого точка совершает два размаха, называется периодом колебаний. Таким образом, период затухающих колебаний представляет собой промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение равновесия. Период колебаний равен периоду функции , т. е.

. (2.17)

Это выражение можно представить в другой форме:

,

где —период собственных гармонических колебаний этой же точки в среде без сопротивления. Из полученной формулы следует, что

,

т. е. период затухающих колебаний больше периода соответствующих собственных гармонических колебаний. В случае малого сопротивления () можно приближенно считать, что

,

т. е. малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает их постепенное затухание.

Рассмотрим последовательные амплитуды , которые наступают через каждые полпериода, т. е. если первое из них произошло в момент времени , то второе—в момент , и т. д. Тогда модуль отношения двух последовательных амплитуд равен

=

= ,

т. е. максимальные отклонения точки от положения равновесия образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем

, (2.18)

называемым декрементом затухания. Его натуральный логарифм называется логарифмическим декрементом затухания:

. (2.19)

2. Случай большого сопротивления .

Корни характеристического уравнения в этом случае

,

являются действительными и отрицательными. Тогда общее решение дифференциального уравнения (2.10) имеет вид:

, (2.20)

где и —постоянные интегрирования, которые можно найти по начальным условиям , , .

Исследуем, что собой представляет график функции, определяемый формулой (2.20). Из этой формулы следует, что при , , так как . Найдем экстремум этой функции:

,

,

.

Из этой формулы видно, что если и , определяемые начальными условиями, имеют противоположные знаки, то существует один экстремум (минимум или максимум), если одинаковые знаки, то экстремума нет.

Не выполняя вычисления, можно оценить поведение этой функции и построить график рассматриваемого движения точки

При возможны три случая в зависимости от знака и величины , представленные на рис 10.

а) При ; б) При , когда | | невелик, в) При , когда | | велик.

При вид графиков движения не изменится, они будут лишь зеркально отображенными относительно оси .

Во всех этих случаях движение точки будет затухающим, не колебательным, иногда его называют апериодичным.

3. Случай критического сопротивления .

В этом случае корни характеристического уравнения

являются действительными и кратными. Общее решение дифференциального уравнения (2.10) имеет вид

. (2.21)

Постоянные интегрирования и определяются начальными условиями

, , .

Исследуем, что собой представляет график функции (2.21):

,

что проверяется после раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя,

,

,

.

Отсюда видно, что при , и функция имеет либо один экстремум (если ), либо ни одного экстремума (если ).

Таким образом, движение точки в случае критического сопротивления также будет неколебательным, апериодичным и его график в зависимости от начальных условий имеет тоже вид кривых, показанных на рис.10.

2.4. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления.

Рассмотрим колебания материальной точки, на которую кроме восстанавливающей силы действует еще , проекция которой на ось , направленную по траектории точки, изменяется по гармоническому закону

. (2.22)

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными.

—амплитуда возмущающей силы; —частота возмущающей силы; —фаза изменения возмущающей силы; —начальная фаза изменения возмущающей силы.

Пусть на прямолинейно движущуюся точку массы кроме восстанавливающей силы , пропорциональной отклонению точки от положения равновесия, действует только возмущающая сила .Точка с приложенными к ней силами и оси координат изображены на рис.11. Основное уравнение динамики точки имеет вид:

.

Спроектировав его на ось , получаем дифференциальное уравнение движения точки:

,

где , . Перенося все члены в левую часть и деля их на массу , получаем:

. (2.23)

Здесь частота свободных колебаний; и имеет размерность ускорения.

Уравнение (2.23)— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления.

Решение этого уравнения зависит от соотношения между частотой возмущающей силы и частотой собственных колебаний. Тут возможны два случая: 1) и 2) .

1. Случай отсутствия резонанса.

Найдем решение уравнения (2.23) для случая, когда частота возмущающей силы отлична от частоты свободных колебаний ( —нет резонанса.).

Уравнение (2.23)—неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения

и частного решения данного уравнения (2.23):

Однородное уравнение совпадает с дифференциальным уравнением собственных колебаний (2.2) и его решение может быть записано в двух эквивалентных формах (2.3) и (2.6):

. (2.24)

Частное решение неоднородного уравнения (2.23) определяется правой частью этого уравнения. В случае будем искать это решение в виде:

. (2.25)

Постоянную следует определить из условия, что функция —частное решение уравнения (2.23) и, кроме того, подстановка в это уравнение должна превратить его в тождество. Вычисляем необходимые производные по времени от :

, .

После подстановки в (2.23) получаем:

.

Полученное равенство будет выполняться при любом значении , если

,

откуда

. (2.26)

Подставляя найденное значение в (2.25), находим искомое частное решение неоднородного уравнения:

. (2.27)

Общее решение уравнения (2.23) имеет окончательный вид

. (2.28)

В амплитудной форме

. (2.29)

Решение (2.29) показывает, что колебания в рассматриваемом случае слагаются из: 1) колебаний с амплитудой и частотой , называемых собственными колебаниями; 2) колебаний с амплитудой и частотой , которые называются вынужденными колебаниями.

Постоянные интегрирования и , или и определяются по начальным условиям:

, .

Предварительно найдем

. (2.30)

Подставляя эти значения в выражения (2.28) и (2.30) для и при , получаем

, .

Отсюда

, .

Амплитуда собственных колебаний и начальная фаза через и выражается формулами

, .

Следовательно, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний при действии возмущающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров этой силы, то есть собственные колебания в этом случае могут возникнуть не только из-за начальных условий, но и благодаря действию возмущающей силы даже при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим вынужденные колебания, определяемые формулой (2.27)

Частота этих колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы, амплитуда

. (2.31)

В зависимости от соотношения между частотами вынужденные колебания можно выразить в двух формах:

при

,

при

.

Следовательно, при фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. В этом случае сдвиг фаз между ними равен нулю, то есть вынужденные колебания и возмущающая сила достигают одновременно максимальных и минимальных значений.

При сдвиг фаз . Действительно, сдвиг фаз как разность фаз между возмущающей силой и вынужденными колебаниями

.

В этом случае вынужденные колебания находятся в противофазе по отношению к возмущающей силе, то есть, в частности, если возмущающая сила достигает максимума, то функция достигает минимума и наоборот.

Итак, вынужденные колебания системы без сопротивления при , возбуждаемые гармонической возмущающей силой:

1) являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой;

2) их частоты совпадают с частотой возмущающей силы;

3) они не зависят от начальных условий.

Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы. Для этого введем понятие статического отклонения точки от начала координат под действием постоянной силы (рис.12).

Величина определяется из условия равновесия сил и :

,

откуда

.

Отношение амплитуды вынужденных колебаний к величине называется коэффициентом динамичности:

.

Безразмерный коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний (т. е. максимальное отклонение точки от центра колебаний) больше статического отклонения , и зависит от отношения частот . Изменение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от изменения частоты возмущающей силы характеризуется графиком коэффициента динамичности (рис.13).

На горизонтальной оси этого графика отложены значения отношения , а на вертикальной оси—соответствующие значения коэффициента динамичности . График показывает, что при увеличении частоты возмущающей силы от до коэффициент динамичности возрастает от единицы до бесконечности, а при дальнейшем увеличении до бесконечности коэффициент динамичности убывает от бесконечности до нуля.

При коэффициент динамичности равен бесконечности. Это случай вынужденных колебаний, называемый явлением резонанса. Переходим к его изучению.

2. Случай резонанса.

Резонансом называется случай совпадения частот собственных колебаний и возмущающей силы, т. е.когда .

Как и в предыдущем случае, дифференциальное уравнение движения определяется уравнением (2.23)

(2.32)

и оно имеет общее решение

.

Здесь общее решение однородного уравнения

,

по-прежнему имеет вид (2.24)

.

А вот частное решение неоднородного уравнения (2.32) будем искать в виде

,

-рассматривается случай .

Постоянная определяется из условия, что при подстановке в рассматриваемое неоднородное дифференциальное уравнение это уравнение обращается в тождество.

Вычисляем производные:

;

и подставляем значения и в уравнение (2.32):

,

или

.

Приравнивая коэффициенты при синусе в левой и правой частях этого уравнения:

.

Получаем, что частное решение

, (2.33)

а искомое общее решение уравнения (2.32)

. (2.34)

Уравнение (2.34) показывает, что движение точки при резонансе является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний точки, так же, как и при .

Рассмотрим вынужденные колебания при резонансе

.

Основной особенностью этих колебаний является зависимость их амплитуды от времени

.

Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе увеличивается пропорционально времени. Частота и период вынужденных колебаний при резонансе равны частоте и периоду свободных колебаний точки. Фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы величину .

Графиком вынужденных колебаний точки при резонансе является синусоида, заключенная между двумя прямыми и ,

проходящими через точки и (рис. 14).

Рассмотренный случай колебаний при резонансе без сопротивления практически не встречается, так как при движении всегда есть силы сопротивления движению. Установленный теоретически бесконечный рост амплитуды в действительности тоже не наблюдается, хотя амплитуды при резонансе

достигают довольно большие значения по сравнению со случаем отсутствия резонанса.

2.5. Вынужденные колебания в среде с сопротивлением.

Рассмотрим влияние сопротивления движению на вынужденные колебания материальной точки, полагая модуль силы сопротивления пропорциональным первой степени скорости.

Пусть на прямолинейно движущуюся точку массы действуют: восстанавливающей силы , пропорциональной отклонению точки от положения равновесия; возмущающая сила , изменяющаяся по гармоническому закону; и сила сопротивления движению . Точка с приложенными к ней силами и оси координат изображены на рис.15. Основное уравнение динамики точки имеет вид:

Спроектировав его на ось , получаем дифференциальное уравнение движения точки:

,

где , , Перенося все члены в левую часть и деля их на массу , получаем:

. (2.35)

Здесь частота свободных колебаний; —величина, называемая коэффициентом затухания; и имеет размерность ускорения.

Уравнение (2.35)— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению, пропорционального скорости.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.35) состоит из общего решения однородного уравнения

(2.36)

и частного решения данного неоднородного уравнения (2.35):

.

Общее решение однородного уравнения (2.36) в зависимости от соотношения между величинами и было найдено в п.2.3 и имеет вид (2.15), (2.20) и (2.21).

Частное решение неоднородного уравнения (2.35) ищем в виде

.

Постоянные и определяются из условия: если подставить в рассматриваемое неоднородное дифференциальное уравнение (2.35), то оно превратится в тождество. Вычислим для этого производные от :

; .

Подставим и вычисленные производные в уравнение (2.35):

(2.37)

Преобразуем правую часть этого равенства так, чтобы в нее входили косинус и синус такого же аргумента, что и у функции . Для этого следует к фазе правой части прибавить и вычесть величину и раскрыть синус суммы:

= .

Подставим это выражение в правую часть равенства (2.37), перенесем все члены в левую часть и сгруппируем отдельно члены, содержащие и . Получим тождество

Это равенство справедливо при всех значениях аргумента лишь при равенстве нулю коэффициентов при и при . Приравниваем эти коэффициенты нулю:

, .

Из этих уравнений определяем значения и :

, , .

Тогда

,

.

Отсюда

.

Из формулы для следует, что является положительной величиной. Следовательно, . Поэтому для определения достаточно использовать формулу только для одной тригонометрической функции, например для .

Окончательно частное решение неоднородного уравнения (2.35):

, (2.38)

где

, , . (2.39)

Общее решение уравнения (2.35) в зависимости от соотношения между величинами и (см. п. 2.3) имеет вид

1) при

,

2) при

,

3) при

,

где и —постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.

Из этих формул видно, что движение материальной точки под действием восстанавливающей и возмущающих сил и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости точки, представляет собой наложение собственно вынужденных колебаний на затухающие колебания при или наложение вынужденных колебаний на апериодическое движение при .

Наличие множителя в членах, соответствующих затухающим колебаниям или апериодическому движению, приводит к быстрому затуханию этих движений. Поэтому при установившемся режиме, то есть через достаточно большой промежуток времени после начала движения, результирующее движение точки практически состоит только из собственно вынужденных колебаний, определяемых уравнением (2.38) и можно считать, что :

. (2.40)

где , .

Установим зависимость амплитуды вынужденных колебаний

от изменения частоты возмущающей силы . Для этого воспользуемся коэффициентом динамичности (см. п. 2.4). Этот коэффициент представляет собой отношение амплитуды вынужденных колебаний под действием возмущающей силы, модуль которой , к статическому отклонению точки от начала координат под действием постоянной силы :

.

Введем обозначения:

— коэффициент расстройки, или относительная частота возмущающей силы; — относительный коэффициент затухания.

Тогда

. (2.41)

Исследуем изменение коэффициента динамичности в зависимости от изменения при фиксированных значениях . Для этого введем функцию

.

Очевидно, что когда достигает максимума, то имеет минимум и наоборот.

Для определения экстремальных значений вычислим ее производные по :

.

Функция достигает экстремума при тех значениях , для которых . Из этого условия для получим два значения:

, .

Так как относительная частота может быть только положительной, или равна нулю при постоянной возмущающей силе, то ; следовательно, . Для таких функция имеет экстремум:

—при вторая производная , функция достигает максимума, а коэффициент динамичности —минимума;

—при , наоборот, и, следовательно, имеет минимум, а коэффициент динамичности —максимум.

Для значений , при которых () имеем и . Дополнительные исследования третьей и четвертой производных показывают, что в этом случае при достигает минимума, а коэффициент динамичности имеет максимум. Других экстремумов у функции нет.

Для значений , при которых значение чисто мнимое. Это можно объяснить как отсутствие других значений , кроме , при которых функция достигает экстремума. При функция достигает минимума, а коэффициент динамичности—максимума.

Таким образом, с увеличением коэффициент динамичности при монотонно убывает от своего максимума при до нуля при .

На рис.16 изображен график изменения коэффициента динамичности в зависимости от относительной частоты при различных значениях коэффициента , при этом использованы результаты, полученные при отсутствии сопротивления, когда (см. рис.13).

Из проведенного исследования и этого графика можно сделать некоторые выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания. Так, максимум коэффициента динамичности, следовательно, и максимум амплитуды вынужденных колебаний наступает не при резонансе, когда (,т. е. совпадают частоты собственных колебаний и возмущающей силы), а при значении , меньшем единицы. Чтобы получить величину максимальной амплитуды , следует в ее выражение (2.41) вместо подставить , что соответствует, так называемому, критическому значению частоты возмущающей силы

.

Поэтому

.

При малых по сравнению с единицей приближенно

.

Амплитуду вынужденных колебаний при резонансе получаем из (2.42) при :

.

Отсюда следует, что амплитуда вынужденных колебаний при резонансе меньше максимальной амплитуды, которая достигается при .

Критическая частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, уменьшается с увеличением коэффициента затухания. Величины и тоже при этом уменьшаются.

Из формулы (2.40) и проведенного ее анализа следуют основные свойства вынужденных колебаний при наличии линейного сопротивления.

—Вынужденные колебания при линейном сопротивлении являются незатухающими, т. е. амплитуда их постоянна как при отсутствии резонанса, так и при резонансе. Они не затухают потому, что возмущающая сила все время поддерживает колебательное движение точки. В этом состоит главное отличие вынужденных колебаний от свободных колебаний, которые затухают даже при незначительном сопротивлении.

— Вынужденные колебания при линейном сопротивлении не зависят от начальных условий, так же как они не зависят от них при отсутствии сопротивления.Следовательно, их нельзя возбудить с помощью ненулевых начальных условий. Для возникновения вынужденных колебаний на точку должно действовать возмущение.

—Частота и период вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления равны частоте и периоду изменения возмущающей силы, то есть сопротивление не влияет на частоту и период вынужденных колебаний.

—Фаза вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления отстает от фазы возмущающей силы на величину , называемую сдвигом фаз.

—Амплитуда и сдвиг фаз вынужденных колебаний зависят от частот собственных () и вынужденных () колебаний и коэффициента затухания . Чем больше коэффициент затухания при прочих равных условиях, тем меньше амплитуда вынужденных колебаний.

—В случае резонанса при линейном сопротивлении амплитуда вынужденных колебаний не возрастает пропорционально времени, как при отсутствии сопротивления, а остается постоянной величиной. Достаточно как угодно малого сопротивления, чтобы амплитуда вынужденных колебаний при резонансе была постоянной, хотя, возможно, и достаточно большой, но не переменной, растущей с течением времени.