II. Прямолинейные колебания материальной точки

2.1. Основные понятия и определения.

Прямолинейное движение точки, заданное уравнением

, (2.1)

называется гармоническим колебательным движением.

Так как синус является периодической функцией, то координата движущейся точки также изменяется периодически, принимая значения из интервала , т. е. точка отклоняется последовательно в ту и другую сторону на величину от начала координат (рис.5).

Постоянная , равная величине наибольшего отклонения колеблющейся точки от ее среднего положения (точки ), называется амплитудой колебаний точки.

Расстояние между двумя крайними положениями точки, равное

удвоенной амплитуде, называется размахом колебаний.

Периодом колебаний называется промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки через одно и то же положение с одной и той же скоростью.

Аргумент синуса называется фазой колебаний точки, а величина — начальной фазой.

Так как период синуса равен , то увеличение аргумента синуса на должно произойти за промежуток времени, равный периоду колебаний точки, т. е. .

Отсюда находим

.

Число колебаний в 1 сек называется частотой. Ее величина

.

Следовательно .

Из этой формулы виден физический смысл постоянной , называемой круговой или циклической частотой колебаний —число колебаний в сек.

Частота измеряется в герцах (Гц) (один герц—это одно колебание в секунду), а круговая частота измеряется в рад/с.

В дальнейшем величину для краткости будем называть просто частотой.

Выясним, под действием какой силы точка совершает прямолинейные гармонические колебания. Для этого решим прямую задачу динамики точки.

Дано: точка, масса которой совершает прямолинейные гармонические колебания по закону

.

Определить: силу , вызвавшую это движение.

В соответствии с дифференциальным уравнением прямолинейного движения материальной точки (1.16) проекции искомой силы

.

Вычислив соответствующие производные, получим:

.

Таким образом, точка будет совершать гармонические колебания, если на эту точку, отклоненную от неподвижного центра , действует сила , направленная к центру и пропорциональная расстоянию

от этого центра. Проекция силы на ось

,

где —постоянный коэффициент пропорциональности. Сила , как видно, стремится вернуть точку в равновесное положение , где . Она называется восстанавливающей силой. Примером такой линейной восстанавливающей силы может служить сила упругости (сила реакции) пружины. В этом случае коэффициент пропорциональности — коэффициент жесткости пружины, численно равный силе упругости ее при деформации, равной единице.

2.2. Свободные колебания в среде без сопротивления.

Пусть точка массы движется вдоль горизонтальной прямой под действием восстанавливающей силы (рис.6). Прямолинейное движение материальной точки под действием только восстанавливающей силы называется свободным колебанием точки.

Для изучения свободного колебания составим дифференциальное уравнение движения точки, которое в данном случае имеет вид:

, или .

Разделив на массу точки , и обозначив , запишем окончательно

. (2.2)

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки.

Для интегрирования этого однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение

.

Его корни—числа мнимые

и ,

следовательно, общее решение дифференциального уравнения (2.2) имеет вид

, (2.3)

где и —постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями. В качестве начальных условий зададим начальное положение точки и начальную скорость, т. е. при , , .

Чтобы определить значения постоянных интегрирования и найдем уравнение, определяющее скорость точки, продифференцировав уравнение (2.3):

. (2.4)

Подставив начальные условия в уравнения (2.3) и (2.4), найдем

, ,

откуда

.

После подстановки найденных значений и в (2.3) получаем уравнение движения рассматриваемой точки:

. (2.5)

Уравнению (2.5) можно придать другой вид, введя вместо постоянных и две другие постоянные и , положив

; .

Выражение (2.3) примет следующий вид:

. (2.6)

Произвольные постоянные и , как и и находятся по начальным условиям. Для их определения выразим и через

и :

, ,

Откуда

, , .

Значение амплитуды считаем положительным, угол изменяется в пределах от до . Поэтому для его определения надо кроме величины тангенса знать еще знак синуса этого угла.

Окончательно, уравнение движения точки определяется следующим уравнением

. (2.7)

Уравнение (2.7)—уравнение гармонических колебаний точки. Таким образом, установлено, что свободные колебания материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы являются гармоническими колебаниями.

Так как , то частота и период свободных колебаний определяются по формулам:

, (2.8)

. (2.9)

Как видно, частота и период свободных колебаний точки зависят только от массы этой точки и от коэффициента , характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения.

Период свободных колебаний увеличивается при увеличении массы точки и уменьшается при увеличении коэффициента . Независимость периода колебаний от начальных условий называется изохронностью, а движение с таким периодом— изохронным.

2.3. Свободные колебания в среде с сопротивлением