Полюсы и нули

Нули модуля АЧХ совпадают с полюсами дробно-рациональной эллиптической функции.

Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса (ωpm) эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту s = σ + jω, получим:

Пусть − js = cd(w,1 / ξ), где cd — эллиптическая косинус-функция Якоби. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:

где K = K(1 / ξ) and Kn = K(1 / Ln). Разрешив относительно w

где значения обратной cd-функции сделаны явными при помощи целого индекса m.

Полюса эллиптической функции в таком случае:

Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме [1]

где ζn — функция от а ξ и xm — нули эллиптической функции. Функция ζn определена для всех n в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем

где

Рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для ζn:

где Lm = Rm(ξ,ξ).