Системы счисления. Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), и числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Если значение цифры не зависит от ее местоположения в записи числа, то такая система счисления называется непозиционной. Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно Р, то система счисления называется Р -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа х в Р -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

(2.1)

где P – основание системы счисления; n – количество цифр в целой части числа, m – в дробной части.

Например,

– десятичная система счисления: P =10, алфавит системы: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};

– двоичная система счисления: P =2, алфавит системы:

{0, 1};

– восьмеричная система счисления: P =8, алфавит системы: {0,1,2,3,4,5,6,7};

– шестнадцатеричная система счисления: P =16, алфавит системы: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}.

Таблица 1 – Соотношение чисел вышеперечисленных

систем счисления

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием Р > 1 обычно используют следующий алгоритм:

– если переводится целая часть числа, то она делится на Р, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на Р, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на Р выписываются в порядке, обратном их получению;

– если переводится дробная часть числа, то она умножается на Р, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть ум­ножается на Р и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием Р.

Например:

1) число 118₁₀ перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Таким образом, 118₁₀=1110110₂, 118₁₀=166₈, 118₁₀=76₁₆.

2) Перевести десятичные дроби 0,5625₁₀ и 0,8₁₀ в двоичную систему счисления

Получили, 0,5625₁₀=0,1001₂,0,8₁₀=0,(1100)₈.

Для смешанных чисел (имеющих целую и дробную части) каждая часть переводится по своему правилу, затем выписывается общий ответ.

При переводе чисел из системы счисления с основанием Р в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер – 1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

Например, перевести числа 1100111₂ и 10011,11₂ в 10-ю систему счисления.

1100111₂=1×2⁶+1×2⁵+0×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰=103₁₀

10011,11₂=1×2⁴+0×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰ +1×2^-1+1×2^-2=19,75₁₀

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную производится «делением» двоичного числа на группы по 3 цифры (триады) с конца. Каждая группа преобразуется числом в новой системе счисления, например: 10.000.101₂=205₈. При переводе чисел из двоичной в шестнадцатеричную, аналогично, «делим» двоичное число на тетрады, то есть на группы по 4 цифры, например, 110.0110.1011=66B.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию Р системы счисления.