Аналіз стійкості лінійних систем

Загальні умови стійкості

В попередніх розділах відзначалось, що в автоматичних системах повинні виконуватись умови стійкості. Стійкість автоматичних систем – це їх властивість повертатись в початковий стан після того, коли будь-яка дія вивела систему з цього стану. Ознакою стійкості є збіжні перехідні процеси, наприклад для систем стабілізації

(4.1)

де: - відповідно задане та поточне значення регульованої координати.

Рис.4.1. Перехідні процеси системи: а) – стійкої; б) – нестійкої;

в) - на межі стійкості

Лінійна АСР може знаходитись в трьох станах: бути стійкою, нестійкою та на межі стійкості (рис.4.1). Варто відзначити, що коли лінійна АСР знаходиться в одному з двох останніх станів, вона непрацездатна. Важливо також відзначити, що форма перехідного процесу, а також його показники (амплітуда, тривалість) при оцінці стійкості значення не мають, головне – перехідні процеси повинні бути збіжними. Виходячи з цього, можна зробити висновок, що стійкість АСР є умовою необхідною, але недостатньою, але в задачах аналізу і синтезу АСР в першу чергу оцінюється стійкість системи. Умова (4.1) відповідає стійкості системи в усталеному стані. В реальних умовах на систему постійно діють збурення, тому умова стійкості може відповідати вимозі: регульована координата повинна бути обмеженою при дії обмежених за велечиною збурень. В задачах аналізу та синтезу проблема стійкості ставить не лише визначення цієї оцінки, а також факторів, від яких залежить стійкість.

Враховуючи, що стійкість лінійних АСР залежить від вільного руху системи, можна записати відповідне однородне диференціальне рівняння:

(4.2)

Змушена складова руху системи, яка відповідає певному виду зовнішньої дії, на стійкість не впливає. Тоді математичним визначенням стійкості є:

(4.3)

Зрозуміло, що вихідна змінна системи буде наближатись до змушеної складової, яка визначається правою частиною диференціального рівняння, а при виконанні умови (4.3) стійкість називається асимптотичною. Тоді для нестійкої системи

(4.4)

На межі стійкості в системі виникає перехідний процес з постійною амплітудою (рис.4.1,в).

Вільна (перехідна) складова перехідного процесу, яка визначає стійкість системи, є розв’язком диференціального рівняння (4.2):

, (4.5)

де: - постійні інтегрування, які залежать від початкових умов;

- корені характеристичного рівняння:

(4.6)

Таким чином має суму складових, кількість яких визначається порядком системи n. В загальному випадку в рівнянні (4.6) оператор p замінюється на комплексну змінну λ. Тоді корені рівняння (4.6) є комплексними та утворюють пари спряжених комплексних чисел

(4.7)

Дійсна частина кореня може бути додатньою або від’ємною. Перехідна складова прямує до нуля лише тоді, коли кожна складова . Тоді можна визначити залежність стійкості системи від коренів характеристичного полінома:

- корені дійсні: . Якщо , то в системі виникає неколивальний (аперіодичний) перехідний процес, який при прямує до нуля, тобто система стійка. При перехідний процес розбіжний, тобто система нестійка (рис.4.2,а);

- корені комплексні попарно спряжені (рис.4.2,б) викликають коливальний перехідний процес, причому при - збіжний;

- корені уявні (рис.4.2,в) відповідають перехідному процесу у вигляді синусоїди (система на межі стійкості).

X

Рис.4.2. Залежність від коренів характеристичного полінома

Може бути також нульовий корінь, тоді значення Х приймає постійну величину.

Наведений матеріал дозволяє зробити такі висновки:

- перехідний процес в системі – сума коливальних та аперіодичних складових, при цьому кожна коливальна складова відповідає парі комплексних спряжених коренів, а кожна аперідична складова – дійсному кореню;

- загальною умовою загасання всіх складових і перехідного процесу в цілому є від’ємність дійсних частин всіх коренів характеристичного рівняння системи, тобто полюсів (нулів знаменника) передаточної функції системи;

- якщо є хоча б один корінь з додатньою дійсною частиною, то йому відповідає розбіжна складова перехідного процесу, тобто система нестійка;

- при наявності уявних коренів характеристичного рівняння в системі виникають назагасаючі коливання з частотою, яка дорівнює - границя стійкості.

Рис.4.3 Розташування коренів характеристичного рівняння на комплексній площині

Розташування коренів характеристичного полінома на комплексній площині показано на рис.4.3. Для стійкості системи всі корені повинні лежати в лівій напівплощині (бути “лівими”), а уявна вісь є межею стійкості. На межі стійкості може розташовуватись нульовий корінь або пара чисто уявних коренів. Необхідною, але недостатньою, умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного полінома.

Для отримання характеристичного полінома можна використивувати передаточні функції системи, наприклад для замкненої системи відносно зміни завдання:

(4.8)

Подамо у вигляді:

, (4.9)

тоді

, (4.10)

де: D – характеристичний поліном, який співпадає з лівою частиною рівняння системи (4.2).

Розв’язуючи проблему стійкості, знаходять відповіді на ряд частинних питань:

- визначають структуру системи, в якій забезпечується стійкість;

- оцінюють межі змінювання параметрів системи, за яких вона зберігає стійкість та їх критичні значення, які виводять систему на межу стійкості (будують область стійкості);

- формують ряд додаткових заходів щодо збереження чи забезпечення стійкості, наприклад введення додаткових елементів чи зв’язків.

Таким чином, стійкість системи визначають на основі аналізу перехідного процесу або коефіцієнтів та коренів характеристичного поліному. В теорії автоматичного керування є ще один ефективний метод оцінки стійкості – використання критеріїв стійкості – узагальнених показників, які не потребують розв’язувати рівняння системи. Використовуються алгебраїчні та частотні критерії.