Определение и свойства двойного интеграла

Рассмотрим одну из геометрических задач, которая приводит к понятию двойного интеграла.

Пусть непрерывная функция определена в конечной замкнутой области плоскости . Найдем объем тела, основанием которого служит область на плоскости , боковая поверхность цилиндрическая, образующие которой параллельны оси , а сверху тело ограничено поверхностью .

Разобьем область произвольным образом на конечное число элементарных областей площадью , на каждой из которых построим элементарное цилиндрическое тело, высоту которого можно принять равной значению функции в произвольной точке , принадлежащей (см. рис. 1). Объем такого элементарного цилиндра, очевидно, равен

.

Рис.1. Тогда искомый объем будет равен сумме элементарных объемов :

.

Полученная сумма называется интегральной суммой, соответствующей данному разбиению и фиксированному выбору точек .

Объем данного цилиндрического тела может быть найден тем точнее, чем меньше размер области , который можно оценить наибольшим диаметром (наибольшее расстояние между точками этой части). Тогда

.

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы при стремлении наибольшего диаметра части разбиения к нулю, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения на части и от выбора в них точек и обозначается , т.е.

,

где - область интегрирования;

- подынтегральная функция;

- элемент площади, который в декартовой системе координат вычисляется по формуле: .

Из определения двойного интеграла следует, что если , , то двойной интеграл равен площади области интегрирования (фигуры) , т.е.

,

а если , то двойной интеграл

выражает объем цилиндрического тела, «крыша» которого – поверхность , а основание – область , на которую проецируется поверхность .

Определение двойного интеграла конструктивно аналогично определению определенного интеграла, поэтому двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.

1. .

2. .

3. Если область разбита на две непересекающиеся части и , то .

4. Если в , то .