Краткий обзор оконного преобразования Фурье

В случае, когда не возникает вопрос о локализации временного положения частот, метод Фурье дает хорошие результаты. Но при необходимости определить временной интервал присутствия частоты приходится применять другие методы.

Одним из таких методов является обобщенный метод Фурье (оконное преобразование Фурье, ОПФ). Этот метод состоит из следующих этапов:

1. в исследуемой функции создается «окно» – временной интервал, для которого функция f(x)¹0, и f(x)=0 для остальных значений;

2. для этого «окна» вычисляется преобразование Фурье;

3. «окно» сдвигается, и для него также вычисляется преобразование Фурье.

При ОПФ сигнал делится на отрезки («окна»), в пределах которых его можно считать стационарным. «Пройдя» таким «окном» вдоль всего сигнала, получается некоторая трехмерная функция, зависящая от положения «окна» и частоты (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Оконное преобразование Фурье:

функция f(t) перемножается с оконной функцией g(t), и вычисляются коэффициенты произведения f(t)g(t). Затем процедура повторяется для

сдвигов окна g(t-t₀), g(t-2t₀), …

Данный подход позволяет определить факт присутствия в сигнале любой частоты и интервал ее присутствия. Это значительно расширяет возможности метода по сравнению с классическим преобразованием Фурье, но существуют и определенные недостатки. Согласно следствиям принципа неопределенности Гейзенберга в данном случае нельзя утверждать факт наличия частоты w₀ в сигнале в момент времени t₀ - можно лишь определить, что спектр частот (w₁,w₂) присутствует в интервале (t₁,t₂). Причем разрешение по частоте (по времени) остается постоянным вне зависимости от области частот (времен), в которых производится исследование. Узкое окно обеспечивает временное разрешение, а широкое – частотное. Проблема состоит в том, что приходится выбирать окно «раз и навсегда», то есть для анализа сигнала, тогда как разные его участки могут потребовать применения разных окон.

Поэтому, если, например, в сигнале существенна только высокочастотная составляющая, то увеличить разрешение можно только, изменив параметры метода. В качестве метода, не обладающего подобного рода недостатками, был предложен аппарат вейвлет - анализа.