Методы обработки стационарных сигналов

Большинство сигналов, встречающихся на практике, представлено во временной области, т.е. сигнал есть функция времени. Таким образом, при отображении сигнала на графике одной из координат (независимой) является ось времени, а другой координатой (зависимой) – ось амплитуд. Таким образом, получаем амплитудно-временное представление сигнала. Для большинства приложений обработки сигналов это представление не является наилучшим. Во многих случаях наиболее значимая информация скрыта в частотной области сигнала. Частотный спектр есть совокупность частотных (спектральных) компонент и он отображает наличие тех или иных частот в сигнале. Частота измеряется в Герцах (Гц), или в числе периодов в секунду. На рис. 4.1 представлены три косинусоиды: 3, 10 и 50 Гц соответственно.

Рис. 4.1 Косинусоиды с частотой 3, 10 и 50 Гц соответственно

Классическим методом частотного анализа сигналов является преобразование Фурье, суть которого пояснялась в лабораторной работе №1.

Результат преобразования Фурье – амплитудно-частотный спектр, по которому можно определить присутствие некоторой частоты в исследуемом сигнале. Результаты преобразования Фурье трех косинусоид (3, 10 и 50 Гц соответственно) представлены ниже на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Результаты преобразования Фурье

косинусоид с частотой 3, 10 и 50 Гц соответственно

Приведем еще один пример стационарного сигнала

, его график и результаты преобразования Фурье (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Стационарный сигнал, результаты ПФ данного сигнала

Большинство реальных сигналов имеет сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткоживущих высокочастотных компонент и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонент.

Сигнал на рис. 4.4 нестационарный. Его частота непрерывно изменяется во времени (четыре частотные компоненты соответствуют частотам 100, 50, 25, 10 Гц.)

Рис. 4.4. Нестационарный сигнал

Спектр этого сигнала (ПФ) будет иметь вид (рис. 4.5):

Рис. 4.5. Спектр нестационарного сигнала

В данном случае появляются небольшие «ложные» частоты и неодинаковости амплитудных пиков, поэтому ПФ не подходит для нестационарных сигналов.

Для анализа таких сигналов необходим метод, способный обеспечить хорошее разрешение и по частоте, и по времени. Первое требуется для локализации низкочастотных составляющих, второе – для разрешения компонент высокой частоты. Вейвлет - преобразование благодаря хорошей приспособленности к анализу нестационарных сигналов стало мощной альтернативой преобразованию Фурье.

Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам), выделяя, таким образом, частотные компоненты. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, что накладывает ограничения на применимость данного метода к ряду задач (например, в случае изучения динамики изменения частотных параметров сигнала на временном интервале).

Существует два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа. Первый – оконное преобразование Фурье (short-time Fourier transform). Следуя по этому пути, мы работаем с нестационарным сигналом, как со стационарным, предварительно разбив его на сегменты (окна), статистика которых не меняется со временем. Второй подход – вейвлет преобразование. В этом случае нестационарный сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функция прототип называется материнским или анализирующим вейвлетом.