Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если

.

Уравнение

тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция , такая, что

, то есть ,

Общий интеграл уравнения

имеет вид

Пример. Решить дифференциальное уравнение

,

Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах:

,

,

то есть . Значит данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, то есть существует функция U, такая, что

.

Поэтому

.

Отсюда

,

где функция f(y) зависит только от y (постоянна по отношению к x).

Дифференцируя найденную функцию по y, получим выражение

,

которое, согласно

, ,

можно приравнять к Q:

Отсюда . Если уравнение в полных дифференциалах, то последнее выражение не будет зависеть от x.

Окончательно получим:

Уравнения n-го (второго) порядка, допускающие понижение порядка.

В некоторых частных случаях удаётся понизить порядок дифференциального уравнения второго или выше порядка. Зачастую оно в итоге приводится к дифференциальному уравнению первого порядка из рассмотренных ранее типов.

Дифференциальные уравнения вида y(n)=f(x)

Для решения дифференциального уравнения вида y(n)=f(x) сделаем замену

Тогда

, ,

Но

.

Следовательно,

.

Повторяя эту операцию ещё (n-1) раз, получим y(x).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Проинтегрируем данное уравнение 4 раза:

, , ,

,

,

.

Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции y.

Уравнения, не содержащие явно искомой функции y, имеют вид и сводятся к уравнению первого порядка с помощью замены , .

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Сделаем замену , , получим

Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью замены

.

Приравняем выражение в скобках к нулю и найдём v:

Подставим полученное выражение в уравнение

и получим:

.

Найдём u:

Тогда

.

Следовательно

.

Найдём y:

Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной x.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной x, имеют вид и сводятся к уравнению первого порядка с помощью замены , .

Пример. Решить дифференциальное уравнение

,

если даны начальные условия .

Сделаем замену , , получим

Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Найдём p:

Следовательно,

.

Подставим начальные условия . Тогда

, , ,

Подставим начальные условия . Таким образом, частное решение имеет вид

.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

и решается с помощью составления характеристического уравнения:

.

Формулы для нахождения общего решения однородного уравнения записаны в таблице:

№	корни характеристического уравнения	общее решение однородного уравнения
	(корни действительные, различные)
	(корни действительные и равные)
	(корни комплексные сопряженные)
	k1=k2=k (кратные комплексные сопряженные корни)

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ).

ЛНДУ имеет вид

где p и q- действительные числа.

Решение неоднородного уравнения находиться по формуле:

, где

- решение ЛОДУ, а - частное решение ЛНДУ по виду правой части.

Формулы для нахождения частного решения неоднородного уравнения по виду правой части записаны в таблице:

№	Вид	Форма
		, если , если
	- многочлен степени	, если , если
	(произведение константы на показательную функцию)	, если , , если если
	(произведение показательной функции на многочлен)	; если r корень, то s его кратность; если нет, то s=0
		, если , если

Неизвестные коэффициенты A, B, C отыскиваются методом неопределенных коэффициентов.

Пример. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение данного уравнения находим в виде:

Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

Для этого составим характеристическое уравнение:

k2 - k – 6 = 0.

Найдем его корни: k1 = -2; k2 = 3 – действительные и различные, поэтому общее решение имеет вид:

,

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Найдем частное решение уравнения. Так как функция f(x) = (2x-1)e2x имеет вид Pn(x)eax, где Pn(x) = 2x -1 – многочлен 1-ой степени и a = 2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения запишем в виде:

.= (Ax +B)e2x

где А и В – коэффициенты, подлежащие определению. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Найдем и

и подставим их в уравнение:

4е2х(Ах +А +В)- е2х(2Ах + А +2В)-6е2х(Ах + В) =(2х -1) е2х;

Поделим обе части уравнения на е2х:

4(Ах +А + В) - (2А + А + 2В) - 6(Ах +В) = 2х - 1 Þ

4Ах + 4А + 4В - 2Ах – А – 2В - 6Ах - 6В = 2х - 1 Þ

-4Ах+(3А-4В) = 2х-1 Þ - 4Ax = 2x; 3A- 4B= -1.

Откуда следует, что коэффициенты А и В должны удовлетворять, следующей системе уравнений:

Решив ее, найдем А= -0,5; B= -0,125.

Подставим найденные значения А и В в уравнение .= (Ax +B)e2x и найдем частное решение:

Следовательно, общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: