Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Однородные уравнения первого порядкаСтр 1 из 3Следующая ⇒ Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными. Любое дифференциальное уравнение вида (*) называется уравнением с разделёнными переменными. Уравнение, которое приводится к виду *, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения
.
Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведём его к виду *:
Если равны дифференциалы, то равны неопределённые интегралы . Отсюда получаем
- общий интеграл и y=Cx – общее решение.
Однородные уравнения первого порядка
Однородным называется уравнение вида y' = f(x,y), где непрерывная функция f(x,y) удовлетворяет условию: f(lx,ly)=λnf(x,y) Такие уравнения с помощью подстановки
y = ux
и y' = u'x + u, где u – новая переменная сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными u и х. Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения
Проверим, является ли данное уравнение однородным:
т.е. является. Введем замену:
Подставим в исходное уравнение:
Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:
Найдем интеграл левой части уравнения:
Найдем интеграл правой части уравнения:
.
Приравняем найденные результаты:
Используем свойства логарифмов и потенцируем равенство:
,
Подставим вместо
получим .
Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
,
где С – произвольная постоянная.
|