Однородные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными.

Любое дифференциальное уравнение вида (*) называется уравнением с разделёнными переменными.

Уравнение, которое приводится к виду *, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

.

Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведём его к виду *:

Если равны дифференциалы, то равны неопределённые интегралы . Отсюда получаем

- общий интеграл и y=Cx – общее решение.

Однородные уравнения первого порядка

Однородным называется уравнение вида y' = f(x,y), где непрерывная функция f(x,y) удовлетворяет условию: f(lx,ly)=λnf(x,y)

Такие уравнения с помощью подстановки

y = ux

и y' = u'x + u,

где u – новая переменная сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными u и х.

Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Проверим, является ли данное уравнение однородным:

т.е. является.

Введем замену:

Подставим в исходное уравнение:

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:

Найдем интеграл левой части уравнения:

Найдем интеграл правой части уравнения:

.

Приравняем найденные результаты:

Используем свойства логарифмов и потенцируем равенство:

,

Подставим вместо

получим

.

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где С – произвольная постоянная.