Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Лабораторна робота 2





Аналіз систем із застосуванням марковських процесів

Апарат марковських випадкових процесів широко використовується при аналізі складних систем керування для опису їхнього поводження при наявності випадкових факторів.

Маємо випадковий процес, що протікає в системі з можливими станами Z0,Z1,...Zi,...Zj.. Позначимо умовну ймовірність того, що в момент t =t0+T система перейде у стан Zj, якщо в момент t0 вона знаходилась у стані Zi через Pij(t0,Т). Дискретний випадковий процес називається марковським, якщо ймовірність Ріj(t0,Т) залежить тільки від і, j, t0, T, тобто тільки від того, у якому стані система була у момент t0 і в який стан вона перейде через час Т.

Марковським процесом з неперервним часом називається процес, у якого перехід з одного стану в інший можливий у будь-який момент часу. Такий клас процесів широко використовується для аналізу поводження складних систем керування.

Для опису поводження системи в класі марковських процесів з неперервним часом необхідно:

1) Увести поняття стану системи.

2) Указати всі стани, у яких може знаходитися система.

3) Скласти граф станів, тобто вказати шляхи можливих безпосередніх переходів системи зі стану в стан.

4) Для розрахунку перехідних процесів у системі вказати, у якому стані знаходиться система в початковий момент часу.

5) Для кожного можливого переходу на графі вказати інтенсивність потоку подій, що переводять систему зі стану Zi у стан Zj. Звичайно інтенсивності визначаються експериментально.

 
 

Вичерпною характеристикою марковського процесу є сукупність імовірностей Pj(t) того, що процес у момент часу t буде знаходитися в стані Zj . Ці ймовірності визначаються на основі розв'язку диференціальних рівнянь

Система (1) визначає перехідний процес у припущенні, що початковий стан –P0.

Якщо число станів системи n - кінцеве і з кожного стану графа можливо перейти в будь-який інший стан, то така система буде мати граничний стаціонарний режим. Так, система (рис.1а) має стаціонарний режим, а система (рис. 1б) – не має.


Рис. 1, а Рис. 1, б

З практичної точки зору має інтерес визначення ймовірностей станів системи в граничному стаціонарному режимі.

Для їхнього розрахунку використовується система алгебраїчних рівнянь, що виходить з (1) шляхом прирівнювання до нуля похідних

 

 
 

 

 

 
 

Система (3) є лінійно залежною, тому її варто доповнити умовою

Приклад. Два абоненти А і В працюють з одним інформаційним центром. У визначений момент часу центр може обслуговувати тільки одного абонента. Абонент А має більш високий пріоритет, тому, якщо від А приходить заявка, обслуговування В припиняється до закінчення обслуговування А.

1. Розрахувати ймовірності можливих станів даної системи, якщо відомі інтенсивності потоків подій, що переводять систему в сусідні стани.

2. З'ясувати, чи буде система працювати ефективно, якщо для цього необхідно, щоб витрати часу абонента В на чекання склали б не більш 50% часу його обслуговування.

3. Установити які параметри і яким чином повинні змінитися, щоб підвищилася ефективність обслуговування абонента В?

 

Уведемо поняття стану системи. Стан системи визначається станом абонентів А і В. Для абонента А можливі два стани: 0 – відсутність заявки; 1 – обслуговування. Для абонента В можливі три стани: 0 – відсутність заявки; 1 – обслуговування; 2 – чекання обслуговування.

 

 

Тоді стани системи такі:

(0,0) – 1 – відсутність заявок від А і В;

 

(0,1) – 2 – відсутність заявки від А і обслуговування В;

 

(1,0) – 3 – обслуговування А і відсутність заявки від В;

 

(1,2) – 4 – обслуговування А і чекання обслуговування для В.

 

Граф стану системи має вигляд:

Рис.2

 

Відповідно до (3) складемо систему алгебраїчних рівнянь для визначення ймовірностей станів Pi i= 1,4:

–(l12+l13)Р1+l21Р2+l31Р3=0

–(l21+l24)Р2+ l42Р4+l12Р1=0. (5)

–(l31+l34)Р3+l13Р1=0

–l42Р4+l24Р2+l34 Р3=0

 

Систему рівнянь можливо скласти безпосередньо за графом (рис.2), користаючись правилом: для кожного i-го стану складається одне рівняння, причому інтенсивності l, що беруться зі знаком мінус і перемножуються на Pi; інтенсивності, що входять в і перемножуються зі знаком плюс на ймовірності тих станів, з яких вони виходять.

Допустимі інтенсивності для графа (рис.2) задані і рівні: ; ; ; ; . Тоді система (5) прийме вигляд .

Отримана система є системою лінійно залежних рівнянь. По цьому одне рівняння (неважливо яке) системи необхідно замінити умовою (4)

. (6)

Розв'язуючи систему (6), наприклад, методом Гаусса, одержимо

; ; ; .

Відношення часу чекання і часу обслуговування абонента В визначається відношенням імовірностей станів Р4 і Р2

.

Так як це відношення більше 0,5 (50%), то можна зробити висновок про неефективність роботи системи.

Щоб зменшити відношення необхідно зменшити інтенсивність потоків і чи збільшити інтенсивність потоків і .

 

Завдання.1. Для заданого графа станів системи і інтенсивностей переходів розрахувати ймовірності станів системи.

Для виділених на графі ймовірності і інтенсивності визначити, які значення повинні приймати інтенсивність , щоб імовірність не перевищувала величину а(а - задане).

Завдання.2.* Скласти граф станів системи аналогічної приведеній у прикладі, але з трьома абонентами А, В, С, пріоритети яких мають вигляд

А>В>С.

 

Date: 2015-05-22; view: 497; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию