Главные деформации и сдвиги

Поставим вопрос об отыскании таких направлений в данной точке тела, в которых волокна испытывают экстремальные удлинения, а сдвиг отсутствует. Такие направления назовём главными направлениями деформации, а сами деформации – главными деформациями. Обозначим их Пусть направляющие косинусы главного направления, удовлетворяющие условию:

(84)

Составим функцию Лагранжа:

и условия экстремума этой функции. Получим систему трёх однородных алгебраических уравнений:

(85)

Приравнивая к нулю определитель системы (85), получаем:

(86)

Раскрывая этот определитель, приходим к кубическому уравнению для определения главных удлинений:

(87)

где обозначено:

(88)

Величины являются инвариантами тензора деформаций по отношению к повороту координатных осей. Направления волокон, испытывающих главные удлинения называются главными направлениями или осями деформации. Они взаимно ортогональны и сдвигов между ними не происходит.

В частном случае плоской деформации Из (87) следует уравнение

,

откуда находим:

(89)

Система (85) при принимает вид

откуда следует формула

(90)

для определения главных направлений деформации.

Аналогично кругам напряжений Мора имеют место круги деформации Мора. Параметрические уравнения наибольшего из кругов Мора имеют вид:

(91)

Из (91) следует каноническое уравнение окружности Мора для деформации:

На рис. 3.31 дано геометрическое изображение кругов деформаций Мора, из которых следует:

(92)

Рис. 3.31

Величина:

называется параметром Лоде для деформированного состояния. Она характеризует вид деформированного состояния.

Радиусы кругов Мора дают экстремальные значения сдвигов:

, (93)

которые называются главными сдвигами.

В соответствии с законом Гука (15) и с учётом (61), (93) получаем:

(94)