Общее решение кубического уравнения для определения главных деформаций

Как и при определении главных напряжений, сделаем в уравнении (87) замену где Э _к – главные деформации тензора- девиатора деформаций. В результате получим:

, (95)

где коэффициенты:

(96)

являются инвариантами относительно поворота координатных осей x, y, z.

Фундаментальную роль в сопротивлении материалов играет второй инвариант. Величину

или

(97)

называют модулем тензора–девиатора деформаций. Величину

называем модулем тензора деформаций.

Общее решение кубического уравнения (65) имеет вид:

(98)

где угол называется фазой девиатора или углом вида деформированного состояния формоизменения. Для определения имеет место соотношения:

. (99)

Определив из (99) , находим по формулам (98) главные деформации Э _к и девиатора и тензора деформаций.

Угол связан с параметром Лоде соотношением:

.

Модуль Э девиатора деформаций имеет простой геометрический смысл. С точностью до множителя Э совпадает с октаэдрическим сдвигом, т.е. . Под октаэдрическим сдвигом понимается сдвиг между октаэдрическими волокнами, которые равнонаклонены к главным осям. Модули девиаторов деформаций Э и напряжений связаны простым соотношением (26).

Из закона Гука (15) для главных направлений имеем:

тогда