Эллипсоид напряжений Ламе

Пусть координатные оси в данной точке А тела совпадают с главными осями (рис. 3.20).

а) б)

Рис. 3.20

Тогда на основании формул Коши получаем:

где направляющие косинусы , , удовлетворяют соотношению:

Подставляя в это соотношение , получим уравнение эллипсоида:

(58)

называемого эллипсоидом напряжений Ламе.

Так как , , - координаты конца вектора напряжений, то конец этого вектора всегда находится на поверхности эллипсоида с полуосями

Эллипсоид Ламе (58) представляет собой геометрический образ напряжённого состояния частицы тела, т.е. тензора напряжений.

Тензор напряжений можно представить как совокупность векторов напряжений в точке А на различно ориентированных площадках, т.е. своего рода «ёжик» эллипсоидальной формы. Из рис. 3.20 видно, что главное напряжение есть одновременно наибольшее значение полного и максимального нормального напряжения , т.е. . Если , то эллипсоид превращается в шар. Соответствующий тензор напряжений:

называется поэтому шаровым, а среднее напряжение - его модулем.