Скалярное произведение векторов и его свойства. Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

.

Для любых векторов справедливы следующие свойства.

1) .

2) , т. к. .

3) Скалярное произведение ненулевых векторов и равно только в том случае, когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны).

Проекцией вектора на ненулевой вектор (обозначение ) называется его проекция на ось l, проведенную через вектор (см. рис. 5).

4) .

5) Для любого вектора с координатами в базисе верно:

, , .

6) ; λ – любое число.

7) .

Теорема. Пусть в базисе вектор имеет координаты , а вектор – . Тогда

.

Следствие 1. Модуль вектора равен .

Следствие 2. Косинус угла между векторами и равен

.

Следствие 3. Ненулевые векторы и перпендикулярны только в том случае, когда

.