Граничные условия для прямоугольных потенциалов

Квантовые эффекты существенны, если потенциальная энергия существенно изменяется на расстояниях порядка длины волны де Бройля. Этому условию удовлетворяют прямоугольные потенциалы, возникающие на границах металла, полупроводника, на примесях и дислокациях, в полупроводниковых гетероструктурах. Для частицы в такой системе найдем энергию и волновую функцию.

Алгоритм решения стационарного уравнения Шредингера:

1. Область определения волновой функции разбивается на участки непрерывности потенциальной энергии, на границах она изменяется скачком. На всех участках полная энергия частицы одинакова.

2. Для каждого участка записывается уравнение Шредингера и находится общее решение для волновой функции со свободными параметрами.

3. Функции соседних интервалов «сшиваются» в точках скачка потенциала. Это дает параметры и уравнение для возможных значений энергии.

4. Условие нормировки волновой функции, учитывающее все интервалы, дает последний параметр задачи.

Условия «сшивания» получим путем однократного и двукратного интегрирования уравнения Шредингера по бесконечно малому интервалу координат около точки скачка потенциала.

Конечный скачок потенциала при . Выполняем двукратное интегрирование уравнения (3.1)

по интервалу , . Для конечной функции используем

, ,

тогда

.

В результате

,

. (3.11)

Волновая функция и плотность вероятности непрерывны в точке конечного скачка потенциала.

Однократное интегрирование (3.1) дает . Первая производная волновой функции и плотность тока вероятности непрерывны в точке конечного скачка потенциала

,

. (3.12)