ПРИМЕРЫ. 3.1.Найти состояния в прямоугольной симметричной потенциальной яме шириной 2а с абсолютно непроницаемыми стенками

3.1. Найти состояния в прямоугольной симметричной потенциальной яме шириной 2 а с абсолютно непроницаемыми стенками.

При имеем и (3.2) дает

, .

Яма симметричная, выбираем вещественные решения

, .

Граничное условие (3.14) при требует

, .

Четные состояния. Из находим

, ,

тогда

, .

Ортонормированность с учетом

,

дает ,

. (П.3.1)

Основное состояние

, .

Нечетные состояния. Из находим

, ,

, .

Ортонормированность дает ,

. (П.3.2)

Первое возбужденное состояние

, .

Объединяя результаты для четных и нечетных состояний, получаем

, , (П.3.3)

где n – число узлов волновой функции. Энергии четных и нечетных состояний чередуются. Функции состояний образуют ортонормированный базис

, (П.3.4)

3.2. В гетероструктуре слой толщиной имеет узкую запрещенную зону по сравнению с соседними слоями. В зоне проводимости образуется прямоугольная потенциальная яма глубиной . На дне зоны проводимости эффективная масса электрона .

Найти связанные состояния в прямоугольной яме шириной 2 а и глубиной W.

При из (3.2) получаем

, . (П.3.6)

Решения внутри ямы

, . (П.3.7)

При для связанных состояний из (3.1) получаем

, , (П.3.8)

. (П.3.9)

Из (П.3.6) и (П.3.8) находим

, . (П.3.10)

Сшиваем решения при . Для четного решения из (3.11) и (3.12) получаем

, ,

откуда

. (П.3.11)

Для нечетного решения находим

, ,

тогда

. (П.3.12)

Системы уравнений (П.3.10), (П.3.11) и (П.3.10), (П.3.12) решаем графически в безразмерных координатах и находим k, x и E. Уравнение (П.3.10) дает окружность с радиусом B, показанную на рисунке. Функции и периодические, каждой ветви соответствует свое

решение. Уравнение (П.3.11) дает для пунктирные кривые, уравнение (П.3.12) при дает сплошную кривую. Пересечения кривых с окружностью являются искомыми решениями , тогда . Из рисунка следует – в одномерной яме сколь угодно малой глубины существует связанное четное состояние . Учитывая , получаем , т. е. Е ₀ меньше энергии (П.3.3) основного состояния в бесконечно глубокой яме. С увеличением B растет радиус окружности, возрастает энергия связанных состояний и дискретно меняется число уровней.

3.3. Найти связанные состояния в яме , где – борновский параметр, d – параметр с размерностью длины.

Для связанного состояния из (3.1) находим

, .

При получаем . Убывающие на бесконечности решения

,

сшиваем при . Используя (3.11) и (3.13) , находим

, , . (П.3.15)

Существует одно связанное состояние. Условие нормировки дает , тогда

. (П.3.16)

Функция уменьшается в е раз при .

3.4. Найти спектр энергии в треугольной яме

На уровне n кинетическая энергия . Из находим границу классического движения . При в уравнении (3.1)

переходим к безразмерному аргументу , , и получаем уравнение Эйри

и решение в виде интеграла Эйри

. (П.3.27)

При краевое условие (3.14) дает

.

Используя корни : , , , , , находим

. (П.3.28)