Примеры решения задач

Задача 5.1. Рассчитать длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов 100 В.

Дано: U = 100 В.

Найти: λ.

Р е ш е н и е

Длину волны де Бройля движущегося электрона можно определить по формуле

.

Для решения задачи необходимо сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя W _о

W₀= m₀ c ² = 0,51 MэВ;

W_k= eU = 100 эВ = 10^-4 MэВ.

Кинетическая энергия электрона много меньше энергии покоя электрона W_к << W _o, поэтому для решения задачи можно использовать формулы классической механики.

В случае, когда кинетическая энергия частицы больше ее энергии покоя , необходимо учитывать зависимость массы от скорости и пользоваться формулами релятивистской механики.

Электрон, прошедший разность потенциалов 100 В, приобретает кинетическую энергию за счет работы электрического поля, поэтому можно записать

. (5.2)

Из формулы (5.2) находим скорость

. (5.3)

Подставим выражение (5.3) в формулу длины волны де Бройля

.

Проводя преобразования, получим расчетную формулу длины волны де Бройля для электрона

.

Вычисления:

=1,2·10^-8м.

Ответ: λ = 1,2·10^-8м.

Задача 5.2. Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью 0,6 с (с – скорость света в вакууме).

Дано: .

Найти: λ.

Р е ш е н и е

Длина волны для протона определяется по формуле де Бройля

.

При движении частицы со скоростью близкой к скорости света необходимо учесть, что релятивистская масса зависит от скорости

. (5.4)

Подставляя выражение (5.4) в формулу длину волны де Бройля, получаем

.

Вычисления: м.

Ответ: 1,76·10^{-15 м}.

Задача 5.3. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 0,008 Тл. Определить длину волны де Бройля электрона.

Дано: R = 0,5 см, B = 0,008 Тл.

Найти: λ.

Р е ш е н и е

Дебройлевскую длину волны микрочастицы определяют по формуле

.

Радиус круговой орбиты электрона, движущегося в магнитном поле равен

. (5.5)

Определим скорость частицы из формулы (5.5)

и, подставляя ее в формулу длины волны де Бройля, получаем

.

Вычисления:

м.

Ответ: = 10^-10м.

Задача 5.4. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре 293 К с наиболее вероятной скоростью.

Дано: Т = 293 К, = кг/м³.

Найти: λ.

Р е ш е н и е

Длину волны де Бройля можно найти по формуле

.

Наиболее вероятная скорость определяется выражением

. (5.6)

Подставляя в формулу длины волны де Бройля выражение (5.6) и массу атома

,

получаем

.

Вычисления:

пм.

Ответ: = 180 пм.

варианты задач

1. Электрон движется со скоростью 1000 . Определить длину волны де Бройля, характеризующую волновые свойства электрона.

2. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 1 .

3. Скорость движения электрона равна 200000 . Определить длину волны де Бройля, учитывая релятивистскую зависимость массы от скорости.

4. Найти длину волны де бройля электрона, если его кинетическая энергия равна 1 кэВ.

5. Определить длину волны де Бройля для протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов в 1 МВ.

6. Определить длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии (скорость электрона равна 2·10⁶ м/с).

7. Рассчитать дебройлевскую длину волны электрона, находящегося на второй орбите в атоме водорода.

8. Найти скорость движения электрона, если его дебройлевская длина волны численно равна его комптоновской длине волны λ_k = 2, 43·10^-12м.

9. Найти длину волны де Бройля для α-частицы, движущейся в однородном магнитном поле с напряженностью 19 кА/м по дуге окружности радиусом 8 мм.

10. Электрон движется по окружности радиусом 0,4 см в однородном магнитном поле с индукцией 7·10 ^–3 Тл. Определить дебройлевскую длину волны электрона.

11. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 25 В.

12.Вычислить длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью 0,6 с (с - скорость света в вакууме).

13. На узкую щель шириной d = 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость =3,65·10⁸ . Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние между двумя максимумами первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на

L = 10 cм от щели.

14. Рассчитать длину волны де Бройля для протона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов 100 В.

15. Вывести в общем виде формулу, выражающую зависимость дебройлевской длины волны от ускоряющей разности потенциалов для релятивистской частицы.

16. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы дебройлевская длина волны была равна 1 нм?

17.Определить длину волн де Бройля a -частицы, прошедшей ускоряющую разность потенциалов 1 кВ.

18. Кинетическая энергия протона равна 1 кэВ. Определить величину дополнительной энергии D W, которую необходимо ему сообщить для того, чтобы дебройлевская длина волны уменьшилась в три раза.

19.Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью 0,8 с (с - скорость света в вакууме).

20. Вычислить длину волны l де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией W_k = 13,6 эВ (энергия ионизации атома водорода). Сравнить полученное значение l с диаметром d атома водорода (найти отношение ). Нужно ли учитывать волновые свойства электрона при изучении движения электрона в атоме водорода? Диаметр атома водорода принять равным удвоенному значению боровского радиуса.

21. Вычислить длину волны де Бройля l для тепловых (Т = 300 К) нейтронов. Масса нейтрона т_n = 1,67 ^. 10 ^–27 кг.

22.Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией

В = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определите длину волны де Бройля для протона.

23.Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля l для него была равна 1 нм.

24.Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода в состоянии с главным квантовым числом n =3.

25.Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля l = 1,282 пм. Принимая заряд этой частицыравным заряду электрона, определите ее массу.

26. При какой скорости электрона его дебройлевская длина волны будет равна 6·10 ^–7 м?

27. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 нм?

28. Определить длину волны де Бройля электрона, находящегося в атоме водорода на первой боровской орбите.

29. Определить длину волны де Бройля для электрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре 310 К.

30. При какой скорости электрона его дебройлевская длина волны будет равна 10 ^–10 м?