Задания к контрольной работе

1−10. Вычислить определители и найти для них

11−20. Даны матрицы и . Вычислить и , если они существуют.

Вариант	Матрица	Матрица

21−30. Найти матрицу, обратную данной. Выполнить проверку.

Вариант	Матрица	Вариант	Матрица

31−40. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами: 1) методом Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41−50. Решить систему методом Гаусса. Найти общее и два частных решения системы.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51−60. Убедиться, что векторы образуют базис. Найти разложение вектора по этому базису.

Номер задачи	Координаты векторов
51.	3; 2; 2	2; 3; 1	1; 1; 3	5; 1; 1
52.	1; 2; 1	−1; 1; 2	1; 1; 2	6; 3; 5
53.	1; −2; 1	−2; 0; 4	1; 3; 3	5; −1; 1
54.	1; 2; 4	1; −1; 1	2; 2; 4	−1; −4; −2
55.	2; 3; 3	−1; 4; −2	−1; −2; 4	4; 11; 11
56.	3; 2; 2	2; 3; 1	1; 1; 3	5; 1; 11
57.	3; 2; −2	4; −1; 3	1; 0; 1	4; 7; 11
58.	5; −1; 4	1; 2; 3	4; −2; 1	0; 4; 2
59.	1; 1; 3	2; 3; 1	3; 2; 2	5; 1; 1
60.	2; 1; 1	2; −4; 3	−1; 2; 1	6; 0; 5

61−70. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) уравнение прямой ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) площадь грани ; 7) объем пирамиды; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71−80. Даны вершины треугольника . Требуется: 1) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершин ; написать их уравнения; 2) написать уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне ; 3) угол между прямыми и ; 4) найти точку симметричную точке относительно прямой .

Номер задачи	Координаты вершин треугольника
71.	4; 3	−2:−3	−5; 5
72.	4;−2	−4; 4	−3; 1
73.	2; 6	−4; 3	−5;−2
74.	−1;−1	−2; 6	4; 3
75.	−2; 6	1;−1	6; 3
76.	7; 2	−1; 4	−2; −3
77.	3; 1	−1; 4	2;−2
78.	7; 1	−5;−4	4;−3
79.	6; 2	3;−5	−2; 7
80.	−2;−3	−4; 5	1;−3

81−90. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1. построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;

3. по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

81. ; 82. ;

83. ; 84. ;

85. ; 86. ;

87. ; 88. ;

89. ; 90. .

91−101. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

91. . 92. .

93. . 94. .

95. . 96. .

97. . 98. .

99. . 100. .

101−110. Дано комплексное число . Требуется: 1) записать его в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .

101. . 102. .

103. . 104. .

105. . 106. .

107. . 108. .

109. . 110. .

111−120. Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее , , через , , .

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

121−130. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличится в раз, а второй отрасли − на %.

121. = 1.5, = 30%.

122. = 1, = 20%.

123. = 2, = 50%.

124. = 2.5, = 0%.

125. = 1.5, = 150%.

126. = 1.2, = 30%.

127. = 1.4, = 70%.

128. = 2.5, = 80%.

129. = 2, = 90%.

130. = 1, = 50%.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Пример 1. Вычислить определители и найти для них :

а) ; б) .

Решение:

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения: . Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (−1)^S, где – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Выберем в рассматриваемом определителе любую строку. Например, первую строку. Тогда определитель может быть вычислен по формуле

где − минор элемента , полученный вычеркиванием из исходного определителя первой строки и первого столбца, на пересечении которых находится элемент : ,

− минор элемента , полученный вычеркиванием из исходного определителя первой строки и второго столбца, на пересечении которых находится элемент : ,

− минор элемента , полученный вычеркиванием из исходного определителя первой строки и третьего столбца, на пересечении которых находится элемент : .

Выполним задание для первого определителя:

М₂₂ = = (−1) × (−1) – 0 × 0 = 1 – 0 = 1,

А₂₃ = (−1)²⁺³ × М₂₃ = (−1) × ((−1)×5 − 2×0) = 5.

Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки: .

б) Выполним задание для второго определителя, раскрывая все определители по элементам первой строки:

.

Полученные определители третьего порядка сведем к определителям второго порядка, еще раз разложив каждый из них по первой строке.

Ответ: а) , ; б) , .

Пример 2. Даны матрицы и . Вычислить и , если они существуют:

а) ;

Решение:

определим размер матрицы, которую получим в результате умножения: первая матрица имеет размер , вторая − . Берем количество строк у первой матрицы, а количество столбцов – у второй. Таким образом, получаем размер .

Для того, чтобы найти элемент необходимо − ю строку первой матрицы умножить скалярно на −й столбец второй матрицы

Ответ: ; .

Пример 3. Определить, имеет ли данная матрица обратную, найти обратную матрицу к данной .

Решение:

Обратную матрицу к данной матрице будем находить по следующему плану:

1. Вычислим определитель матрицы

2. Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы по формуле

,где минор элемента матрицы .

3. Запишем матрицу , элементами которой являются соответствующие алгебраические дополнения

4. Найдем транспонированную матрицу

5. Найдем обратную матрицу по формуле

1. Вычислим определитель матрицы по формуле

2. Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице первую строку и первый столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице первую строку и второй столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице первую строку и третий столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице вторую строку и первый столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице вторую строку и второй столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице вторую строку и третий столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице третью строку и первый столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице третью строку и второй столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице третью строку и третий столбец)

3. Запишем матрицу , элементами которой являются найденные алгебраические дополнения

4. Найдем транспонированную матрицу (строки становятся столбцами, а столбцы – строками с сохранением порядка)

5. Найдем обратную матрицу

Произведем проверку. Для этого найдем произведения и . Если окажется, что они равны , то матрица найдена верно.

Имеем

определим размер матрицы, которую получим в результате умножения: первая матрица имеет размер , вторая − . Берем количество строк у первой матрицы, а количество столбцов – у второй. Таким образом, получаем размер .

Для того, чтобы найти элемент необходимо − ю строку первой матрицы умножить скалярно на −й столбец второй матрицы

.

аналогично находим произведение :

Ответ:

Пример 4. Дана система линейных уравнений:

доказать ее совместность и решить тремя способами:

1) Методом Гаусса;

2) По формулам Крамера;

3) Средствами матричного исчисления.

Решение:

Теорема Кронекера−Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. , где

, .

Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.

~

Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки:

~ ~

Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

~

Разделим элементы третьей строки на (10).

~ ; ~ .

Найдем определитель матрицы А.

.

Следовательно, . Ранг расширенной матрицы так же равен 3, т.е.

Þ система совместна.

1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход).

2. Из последнего уравнения находим и подставляем его во второе, находим , и зная подставляем их в первое уравнение, находим (обратный ход).

Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу

~

в виде системы трех уравнений:

Þ

Ответ: .

2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

; ; .

Вычислим определитель системы Δ:

Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители . Они получаются из определителя системы заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов.

Находим по формулам неизвестные:

; ;

Ответ: .

3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы.

, где – обратная матрица к ,

− столбец свободных членов,

− матрица−столбец неизвестных.

Обратная матрица считается по формуле:

(*)

где − определитель матрицы , – алгебраические дополнения элемента матрицы . (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы по формуле:

Запишем обратную матрицу.

.

Сделаем проверку по формуле:

Вывод: так как произведение дает единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно и решение системы определяется по формуле

.

Ответ: .

Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим:

Т. к. неизвестные обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.

Пример 5. Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы.

Решение: