Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения

Квантовая статистика — раздел статистической физики, исследующий системы, кото­рые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных ча­стиц.

При этом оказывается, как будет показано ниже, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное простран­ство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определя­ется заданием 6N переменных, так как состояние каждой частицы определяется трой­кой координат х, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса р_х, р_у, р_z. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного про­странства равно 6N.

Это 6N-мерное пространство называется фазовым пространством. Каждому микросостоянию системы отвечает точка в 6N-мерном фазовом пространст­ве, так как задание точки фазового пространства означает задание координат и им­пульсов всех частиц системы. Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные элементарные ячейки объемом

где q — совокупность координат всех частиц, р — совокупность проекций их импульсов.

Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества и соотношение неопределенностей Гейзенберга приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем h³ (h — постоянная Планка).

Вероятность d W данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения:

Здесь d W — вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dqdp, расположенного вблизи данной точки q, р. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интервале q, q+dq p, p+dp.

Функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состояния Системы. Поэтому она должна быть нормирова­на на единицу:

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения, можно решить основную задачу квантовой статистики — определить средние значения величин, характеризующих рассматрива­емую систему. Среднее значение любой функции если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, которая квантует­ся, то состояние системы характеризуется не непрерывной, а дискретной функцией распределения.

Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американс­кий физик Д. Гиббс (1839—1903). Оно называется каноническим распределением Гиббса.

В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид

где А — постоянная, определяемая из условия нормировки к единице,

п — совокуп­ность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние.