Вычисление средних значений физических величин

Расчет средних значений физических величин имеет важное значение в микромире. Когда в рассматриваемом состоянии квантовомеханической системы физическая величина не имеет определенного значения, т.е. при измерении этой физической величины получается неоднозначный результат, то среднее значение этой величины в какой-то мере характеризует состояние.

Получим формулу для расчета среднего значения величины А, изображающейся эрмитовым оператором Â, в состоянии Ψ. Ради простоты рассмотрим случай дискретного спектра собственных значений оператора: а₁, а₂,…, а_n,…. Если W_n – вероятности обнаружения дозволенных значений а_n (5 постулат) равны | (φ_n,Ψ) | , то по теореме о среднем из теории вероятности:

(5.9)

Учитывая свойства скалярных произведений векторов гильбертова пространства (4.7) и (4.10), получим

Таким образом, для расчета среднего значения физической величины А, изображающейся соответствующим оператором Â, необходимо знать вектор состояния y:

(5.10)

Очевидно, если Ψ = φ_n, где φ_n определяется уравнением Âφ_n = a_nφ_n, то формула (5.10) дает следующий результат:

(5.11)

Если (Ψ,Ψ) ≠ 1, тогда для среднего значения физической величины справедливо выражение:

(5.12)